时间：2022-09-14 07:25:16
【摘要】双参数有理插值它具有以下优点：（1）局部性，每个区间的函数表达式只与相邻的若干节点取值有关;（2）保形性，无需增加中间节点，通过参数选取可实现保形要求;（3）具有显式表达式，便于计算分析;（4）含有参数，便于交互式修改，可以通过参数的改变而不是点的变动来修改插值函数。
【关键词】曲面;应用;参数
一、引言
伴随着航空、造船、机械设计以及制造等现代工业的蓬勃发展，计算机辅助几何设计，简称CAGD（Computer Aided Geometric Design），渐渐成为的一门新兴的交叉学科与边缘学科。近些年来，不少学者在有理二次，三次有理样条以及他们的性质和应用上做了研究。如：Gregory，Delbourgo在文献[2]构造了2/2型有理插值样条，探究了它的保单调问题。王强在文献[8]构造了双参数3/1型的有理插值样条，探究了其光滑性。Delbourgo在文献[3]构造了2/1型有理插值样条，并探究了它的保凸问题。王仁宏，吴顺唐在文献[1]从实际的课题着手，构造了几种具有线性结构的有理插值样条并讨论了它们的解析。段奇、Hussain等在文献[4-6]也是用含参数的分段三次有理函数构造了满足约束条件插值样条。本文在研究了双参数有理样条的基础上进一步研究曲面的表达形式，双参数插值应用于曲面可以有多种的方式，可以是x方向是线性插值，y方向是构造的双参数插值的混合3次3元插值形式，也可以是x方向，y方向都是双参数插值的3次4元插值形式，亦然有更多的混合插值形式。
二、双参数曲线的构造
由于封闭曲线的特殊性，故不可以用显式函数将其直接表示，现采用参数曲线的形式，先在x方向上进行插值，再在y方向上插值。下文中的x（t）和y（t）就是曲线的参数表达式。
给定数据（xi，fi，），i=1，2，…，n，其中fi为函数在分划点xi上的函数值，此处x1
当都取正数，
同理：
三、双参数曲面的构造
给定平面矩形网格以及型值点（）用线性插值和以上构造的双参数有理样条插值我们可以构造x方向为线性插值，y方向为双参数有理样条插值的二元混合插值格式。
令，对于i=1，2，…， m-1;j=1，2，…，n，我们构造过两点（xi，yj），（xi+1，yj）向x方向的的参数曲线：
i=1，2，…，n-1。
有了x方向的插值，再利用上面式子中构造的双参数有理样条进行插值，构造成为了三次三元插值形式有理插值函数p（x，y）。
其中：
上式可以写成：
其中为参数插值的基函数，定义如下：
过界信息矩阵如下：
边界信息矩阵由四个子矩阵组成。左上角的二阶子矩阵由区面片四个角点的函数值构成，左下角的子矩阵是函数在四个角点处关于X方向的偏导数，右上角的子矩阵是函数在四个角点处关于Y方向的偏导数，右下角的子矩阵是函数在四个角点处关于X、Y方向的混合偏导数。
四、应用
五、小结
本文构造了双参数理插值曲面即x，y方向分别为线性、双参数有理插值的3元3次插值函数，并讨论了其应用形式。该函数含有二族参数αi，βi可自由调节以改变曲线的形状，并可通过导数di赋值，无需求解线性方程组使得插值函数二阶连续。双参数插值函数在曲面上的应用还有许多种形式，在今后的研究中将一一列举各种形式以及比较出哪种是最优形式，最能准确描述曲面，
参考文献
[1]王仁宏，吴顺唐.关于有理spline函数[J].吉林大学自然科学学报，1978：58-70.
[2]J.A.Gregory，R.Delbourgo.Piecewise rational quadratic interpolation to monotonic data，IMA[J].Numer.Anal.，1982，2：123-130.
[3]R.Delbourgo.Shape preserving interpolation to convex data by rational functions with quadratic numerator and linear denominator.IMA.
[4][J]1989，Numer.Anal..9：123-136.
[5]Q.Duan，K.Djidjeli，W.G.Price，E.H.Twizell.A rational cubic spline based on function values[M].Comput.And Graphics.1998，22（4）：479-486.
[6]Q.Duan，L.Wang，E.H.Twizell.A ational interpolation based on function values and constrained control of the interpolant curves[M].Applied Mathematics and Computation.2005，1：311-322.
[7]M.Z.Hussain，M.Hussain，.Visualization of data subject to positive constraints[M].Information and Computing Science.2006，1（3）：149-160.
[8]王强.三次保形有理插值[J].合肥工业大学学报：自然科学版，2005，28（11）：1461-1464.
[9]方逵.一种新的二元有理插值及其性质[J].工程图学学报，2010：117-122.
作者简介：符琳（1989―），女，江苏盐城人，安徽理工大学理学院在读硕士研究生。