时间：2022-09-14 04:05:49
摘要：回归分析是应用极其广泛的数据分析方法之一。本文着重于非线性关系如何转化为线性模型，以实例采用不同曲线拟合，并比较优劣。
关键词：线性回归 非线性回归 残差平方和 r检验法
中图分类号： H319 文献标识码： A 文章编号：1672-1578（2014）10-0019-01
1 一元线性回归模型
在含有变量的系统中，如果自变量与因变量之间是直线或近似的直线关系，称之为线性回归模型。一元线性回归模型如下：
y=β0+β1x+εE（ε）=0，D（ε）=？滓2
利用提供的数据，可由LS估计法作出β0，β1的估计值 0，
1，于是得到回归方程 = 0+ 1x
残差平方和Qe= （yi- i）2越小，表示y与x的线性关系越显著。回归方程的显著性可用F检验法或t检验法或检验法来检验。
2 可化为线性的非线性回归模型
在实际问题中，自变量与因变量之间未必总有线性关系，回归函数往往是比较复杂的非线性函数，但在某些情形下，可以通过对自变量与因变量作适当的变换，将一个非线性的函数关系转化成线性函数关系，再用线性回归的方法来处理。常见的情形有以下几种：
（1）双曲线 =+ ；
（2）幂函数y=xb；
（3）指数函数y=ebx；
（4）倒指数函数y=e ；
（5）对数曲线y=+blnx。
3 应用举例
在实际应用中，一般是由给出的数据，利用matlab软件，先描绘出散点图，然后根据曲线的形状选择一条最佳的拟合曲线，建立变量之间的回归方程。
实例：出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀，容积不断增大。我们希望找出使用次数与增大的的容积之间的关系。实验数据如下：
根据实测数据作出散点图，选用双曲线 =+ ，令
u= ，y= ，得线性函数：u=+v，由x，y的数据可得u，v的数据，利用matlab可求得 =0.1312， =0.0823，r=0.9683，于是得回归方程： =0.0823+0.1312v。取α=0.01，查相关系数临界值，
r1-0.01（15-2）=r0.99（13）=0.6411，因r=0.9683>0.6411，所以回归方程是高度显著的。代回到原来变量得回归方程为
=0.0823+ 或 =
在上面的运算中，由于对y作了变换，故实际上所求的回归方程是按偏差平方和 （ - ）2达到最小求得的，但这个值最小并不说明残差平方和Qe= （yi- i）2最小，因此所求得的回归曲线不一定是最佳拟合曲线。
如果选取倒指数曲线y=e ，作变换u=lny，y= ，c=ln可得线性函数：u=c+bv，利用数据计算结果如下： =-1.1107，
=2.4579，r=-0.9795。
因r=0.9795>0.6411=r0.99（13），所以回归方程为 =2.4578-1.1107v。高度显著。代回到原来变量得回归方程为：
=11.679e 。
为比较两个回归方程哪个拟合得更好一些，分别求两个模型下的残差平方和，双曲线回归方程的残差平方和Qe=1.4385，倒指数曲线回归方程的残差平方和Qe=0.8915，由于0.8915
参考文献：
[1]电子科技大学应用数学系.概率论与数理统计.电子科技大学出版社.1999.8.
[2]李永乐，胡庆军.应用数理统计.国防科技大学出版社.1999.8.