时间：2022-09-14 03:50:13
圆的直径式方程是指如果一个圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2),那么圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
运用圆的直径式方程解答有关的题目,过程简捷、明快,颇具特色.
例1 设F1、F2是椭圆■+■=1的两个焦点,P为椭圆上的一点,已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求|PF1|∶|PF2|的值.
解析 易知F1(-■,0)、F2(■,0).
() 当∠PF2F1=90°时,设P(■,y1),代入椭圆方程解得|y1|=■,于是|PF2|=|y1|=■.
又|PF■|=2a-■=■,
|PF1|∶|PF2|=■.
() 当∠F1PF2=90°时,则点P(x2,y2)是F1F2为直径的圆与椭圆在y轴右侧的交点,圆的方程是(x+■)(x-■)+y2=0,和椭圆方程联立解得x2=■.
作PMF1F2于M,则|OM|=■,|MF2|=■,
|PF2|=■=■=2 , |PF1|=6-2=4,
|PF1|∶|PF2|=2.
例2 设A、B是双曲线x2-■=1上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点.
(1) 求直线AB的方程;
(2) 如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点,那么A、B、C、D四点是否共圆?为什么?
解析 (1) 设A(x1,y1)、B(x2,y2),则N(■,■),KAB=■,kON=■=2.
由x21-■=1,x22-■=1,两式相减得x21-x22=■(y21-y22),
■=2,解得KAB=1.
故直线AB的方程为y=x+1.
(2) 解方程组y=x+1,2x2-y2=2得A(-1,0)、B(3,4),易得AB的垂直平分线的方程为y-2=-(x-1),即y=-x+3.
由y=-x+3,2x2-y2=2得C(-3-2■,6+2■)、D(-3+2■,6-2■)?郾
以CD为直径的圆的方程为(x+3+2■)(x+3-2■)+(y-6-2■)×(y-6+2■)=0,整理得x2+y2+6x-12y+5=0.?摇 ①
A、B的坐标都是方程①的解,
A、B两点都在圆①上,因而A、B、C、D四点共圆.
例3 已知点A(0,2)和抛物线y2=x+4上两点B、C使得ABBC,求点C的纵坐标的取值范围.
解析 点A在抛物线上,设抛物线上的点C(t2-4,t)(t≠2),则点B是以AC为直径的圆与抛物线的交点.
如图1,以AC为直径的圆的方程为x[x-(t2-4)]+(y-2)(y-t)=0.
x=y2-4,
(y2-4)(y2-t2)+(y-2)(y-t)=0,即
(y+2)(y-2)(y+t)(y-t)+(y-2)(y-t)=0.
又 t≠2,y≠2,
(y+2)(y+t)+1=0,即y2+(t+2)y+(2t+1)=0.
y∈R,
Δ≥0,即(t+2)2-4(2t+1)≥0,解得t≤0或t≥4.
故点C的纵坐标的取值范围是(-∞,0]∪[4,+∞).
例4 如图2,设点A和B是抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点. 已知OAOB,OMAB,求点M的轨迹.
解析 设A(4pt21,4pt1)、B(4pt22,4pt2).
OAOB,
■・■=-1,
t1t2=-1.?摇?摇 (*)
OMAB,
点M(x,y)是以OA、OB为直径的两圆异于原点的另一交点,且y≠0,两圆的方程是x(x-4pt21)+y(y-4pt1)=0,x(x-4pt22)+y(y-4pt2)=0.
由方程的解的意义知,t1、t2是关于t的一元二次方程x(x-4pt2)+y(y-4pt)=0,即4pxt2+4pyt-(x2+y2)=0的两实数解.
由韦达定理及(*)有■=1,即(x-2p)2+y2=(2p)2(x≠0,y≠0)为点M的轨迹方程,轨迹是以(2p,0)为圆心,2p为半径的圆(挖去原点)?郾