以“必修一《函数的单调性》”为例谈合理设计教案

摘要：笔者认为，对于新概念课的教学，教师应该把握所教的知识在整个教材中的地位与作用，根据教学的要求，定位重难点，深入钻研教材教参，从不同角度、不同层次构建概念的理解，合理、科学地设计教学方案，顺应学生的认知，让数学概念在课堂中自然生成。

关键词：函数的单调性；概念的理解；教学设计

中图分类号：G427文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）21-059-2

函数是整个高中的核心知识点，而函数的单调性是函数的第一个重要性质，为了上好这一节函数的单调性的入门课，我认真研究了课标、教材与教参中与之相关的内容，也认真翻阅了相关的杂志，比较与学习了别人的教学设计与教学看法，对这一节内容也有了更深一层的理解，同时也对这一节内容的教学有了一些新的想法。我对这一节内容的教学设计来源于整体把握它的教材地位，准确定位它的重难点，通过构建概念的理解，本着“能引发学生认知冲突，符合学生的认知规律”的原则，在学生的“最近发展区”内实现重难点的突破。

一、整体把握教材，明确“函数的单调性”在高中数学课程中的地位与作用

首先，从单调性知识本身来讲，学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在必修一教材进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在选修教材利用导数为工具研究函数的单调性。必修一教材的学习既是初中学习的延续和深化，又为选修教材中的学习奠定基础。

其次，从函数角度来讲，函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念。函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，经历用符号语言刻画图形语言。因此，函数单调性的学习方法为进一步学习函数的其他性质提供了依据。

最后，从学科角度来讲，函数的单调性是学习函数最值（或值域）、不等式、极限、导数等其他数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材。

二、分析高中两个阶段的教学要求，定位本节课的重难点

通过上面的分析，函数单调性是一个非常重要的数学概念，高中要分两个阶段才能完整地把它学完，所以需要我们有整体的认识，分析每一个阶段的教学要求及要解决的重点问题。那么必修一的函数单调性入门课如何定位呢？

我们数学老师有两种不同的看法：一种认为“必修一函数单调性入门课的重点是掌握判断与证明函数的单调性的方法”；另一种认为“必修一函数单调性入门课的重点单调性概念的形成与理解”。

我认为，只有整体上认识和把握高中数学课程，才能准确定位每一个内容。关于函数单调性的判断与证明，在后面的选修教材中，我们还将用学习一种新而更简单的方法――导数的方法来判断与证明函数的单调性。所以，在函数的单调性的入门课中，教师没有必要把大量的时间与精力花在判断与证明函数的单调性上。

所以，我认同第二种教学定位，在单调性入门课的教学中，重点应该是单调性概念，让学生体验概念的产生和发展过程，经历从具体的感性认识到抽象的理性概括过程。在学生理解函数的单调性的概念后，教师通过一些简单的函数的单调性的判断与证明，让学生清楚单调性的判断与证明的方法与步骤。

三、再次研读必修一教材，构建概念的理解，合理设计教学方案

1.教材内容陈述

为了更好地构建概念的理解，体会教材编写的意图，我再次研读了2013年的苏教版必修一与人教版必修一两种版本的教材，下面摘录这两种版本的教材中“函数的单调性”这一节的内容，为了方便分析，略修改成以下几个步骤：

苏教版：

（1）如图（课本37页），是气温θ关于时间t的函数，记为θ=f（t），观察这个函数的图象，说出气温在哪些时间段内是逐渐升高的或是下降的？

（2）提出问题：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征？

（3）给出定义

（4）数学运用

2.建构概念的理解

根据前面的分析，单调性的概念是难点，概念中的“任意两个x1，x2”的得到与理解是教学的难点，基于对教材的思考，我认为对单调性的概念的得到与理解要经历三个层次。

（1）图形化的理解。这一层次的理解是指从图形的走势来理解函数的单调性的。通过观察一定函数的图像“上升与下降”的走势特征，让学生对函数的单调性有直观的印象。

图形化的理解是以图形为基础，直观形象，能调动人的视觉活动，从而使理解的对象容易被感知与记忆。这种理解有几个特点：第一，图形化（看图观察得出的）；第二，动态化（即所谓“上升的”“下降的”）；第三，有方向（即应该表明“从左至右看”，而教材中没有明确说出，只是依照习惯暗示）；第四，整体化（上升表现在整个y轴右侧的图像，也就是在x轴的正半轴上，即在区间[0，+∞）上）。

（2）关系化的理解。这一层次的理解是指从函数的角度，以两个变量x与y的变化关系来理解函数的单调性的。“随着x的增大，相应的f（x）也随着增大”，这句话就是从x与y的变化关系来表达函数单调递增的特性。这里的理解是紧接着上面推进的。函数的图像是由点构成的，图像的“上升”转化为点的“运动”来表述，而点的“运动”又联系了坐标x与y的“变化”关系。

用函数的图像来表达函数时，图像上的点与坐标就搭建了x与y关系的桥梁。这里，实质上反映了函数、图像和点之间的关系。于是，这种理解以函数的概念为基础将图形化的理解转移到x与y的变化关系来理解。这里仍然有“动态化的、有方向的、整体化的”特征，因此容易被理解与接受。这一层次的理解承上启下，既能把关注点从图像转移到x与y的变化关系，又为下一层次的理解奠定基础。

（3）离散化的理解。这一层次的理解是指将x与y的整体变化关系离散成两个点中x与y的数量比较关系。“在区间（0，+∞）上，任取两个x1，x2，当x1

3.教学设计与教学实录（概念形成与例题的片段）（略）

四、整个教学设计过程的准备与思考

1.认真研究“《数学课程标准（实验）》”有关函数单调性的教学要求，比较与研究苏教版与人教版的教材及教参；

2.充分研究函数的单调性在整个高中数学课程中的地位与作用，确定这一节课重点要解决的问题以及这一节难点在哪里；

3.参阅了大量有关函数单调性的教学设计、教案、课件、视频，比较学习与借鉴别人的实践经验与方法；

4.参阅了杂志上的概念教学理论、课堂实践与思考的有关文章；

5.与同事、同行多次讨论交流，从课堂教学设计的依据、出发点，到教学重点、难点突破、教学过程，各个环节都进行了讨论交流，几经修改，最后定稿。

通过这节课的设计与教学，我有几点思考：

1.新课程下的数学教学首先要让学生知道知识是如何产生的，而不是强加给学生。单调性的定义让同学们从“图形和数量关系”两个方面去认知，它经历了由图象直观特征到自然语言描述，再到数学符号描述的推进过程，要让这个推进过程是自然的，水到渠成的。

2.要精心预设课堂可能出现的多种情况，同时要灵活课堂生成，让学生碰创出思维的火花，培养学生善思考，乐钻研的思维品质。

3.在教学设计与实施中，要研读课程标准、教材、教参。首先要明确本知识在整个高中教材的地位，而不是孤立的教这一节课，定位本节课要解决的关键问题。

其次，要集思广益，对比参考人家的设计与思考，这样既可以吸取合理成分，也可以预测课堂可能会遇到的问题，与同事多交流讨论，借鉴人家的经验与好的做法。再次，要充分了解自己学生的知识结构特点与原有基础、接受能力等等，在这个基础上设计适合自己学生的教学案。

总之，在以后的教学中，我将继续对概念教学做深入的研究，深入钻研教材，把握本概念在整个高中教材中的地位，从不同角度、不同层次构建概念的理解，充分了解学生特点，从不同渠道学习与借鉴别人的实践经验，对概念的教学进行充分、科学、合理的预设，顺应学生的认知，让数学概念在课堂中自然生成。

[参考文献]

[1]王尚志，胡凤娟，张思明.函数的单调性――从局部到整体、再到局部[J].中学数学教学参考（上旬・高中），2009（07）.

[2]宁锐，李昌勇.函数单调性层次的教学理解[J].中学数学教学参考（上旬・高中），2009（06）.