时间:2022-09-13 08:51:18
摘 要: 扰动理论是研究方程稳定性的重要工具,扰动边界是扰动理论的重要组成部分.文章研究了一类非线性的矩阵方程X-■A■■X■A■=I,此类方程源自一个差值问题,利用一般的扰动理论,给出了矩阵方程的扰动边界.
关键词: 矩阵方程 正定解 扰动边界
先介绍一下文章的研究对象:
X-■A■■A■■X■A■=I, (1)
在此方程中,A■∈C(n),i=1,2,…,m,I是一个n阶的单位矩阵,A■表示矩阵A的共轭转置.我们要研究此方程正定解的扰动边界,这类方程来自于一类差值问题,详见[1].
Ran[1]证明了方程X=Q+A■(■-C)■A总有唯一的正定解,Xu[2]对方程X=Q+A■(■-C)■A的唯一解进行了扰动分析.我们在此基础上,接着讨论Eq.(1)唯一正定解的扰动边界.对此特殊情况,我们已经有很多成熟的结论(见[3-5]),本文就方程的一般情况进行研究.
1.准备知识
Ran[1]在文中证明了方程X=Q+A■(■-C)■A总有唯一的正定解,其中Q∈P(n),A是mn×n阶矩阵,■=diag(X,X,…,X)是分块对角矩阵,X是n阶方阵.我们作如下变形.令
A=A■A■…A■.
其中A■(i=1,2,…m)是n阶方阵.取Q=I,C=0则
X=Q+A■(■-C)■A=I+A■■A.
=I+(A■■ A■■ … A■■)X X ?埙 X A■A■…A■.
=I+A■■X■A■+…+A■■X■A■
=I+■A■■X■A■
所以Eq.(1)是方程
X=Q+A■(■-C)■A.的特殊形式.
由以上推导和[1]的结论,我们给出有关Eq.(1)唯一正定解的以下结论,证明比较容易,可参考文献[1].
定理1[1] 对任意的矩阵A∈C(n),Eq.(1)总是存在唯一的正定解,记为X,并且任意给定初值X■P(n),迭代序列
X■=I+■A■■X■■A■
总是收敛到X,即■X■=X.
接下来,我们开始讨论唯一正定解的扰动边界.
2.扰动边界
我们令矩阵A■和X进行轻微扰动,并且记■■=A■+A■和■=X+X,其中A■∈C(n),X∈H(n).则Eq.(1)扰动后变为
■-■■■■■■■■=I. (2)
利用(2)式减去(1)式可得
X+■B■■XB■=E+h(X), (3)
B■=X■A■(i=1,2,…m)
E=■(B■■A■+A■■B■+A■■XA■)
h(X)=■B■■XX■X(I+X■X)■B■
-■A■■X■X(I+X■X)■B■
-■A■■■X■X(I+X■X)■X■A■.
接下来,我们定义线性算子L:H(n)H(n),
LW=W+■B■■WB■.(i=1,2,…m)
利用[2]中的引理1.2和命题(1.5),可以推知算子可逆.
再定义算子P■:C(n)C(n),
P■Z=L■(B■■+Z■B■),Z∈C(n).(i=1,2,…m)
从而(3)式变为
X=■P■A■+L■(■A■■X■A■)+L■[h(X)].
记
ξ=X■,l=L■■,p■=P■,α■=■A■■,
?藓=■p■A■+■■A■■,δ=■■A■(2A■+A■).(4)
定理2 令X和■分别是Eq.(1)和Eq.(2)的解.记
?藓1=■■.如果δ
得到■-X≤■v■,
并且
■≤■,
证明:令f(X)=■P■A■+L■(■A■■X■A■)+L■[h(X)].f(X)是从到H(n)的连续映射.由δ
(lξ+α■ξ■)v■-(lξ?藓-lδ)v+l?藓=0
有两个实根.其中较小的实根为:
v■=■,
定义集合φ■={X∈H(n):X≤v■},对任意的X∈φ■,都有
X■X≤X■X≤ξv■≤ξ■=1+■
利用δ
ξ?藓+δ-1≤δ-1+ξ■
=■
从而X■X
(I+X■X)■≤■≤■.(5)
对于f(X),由(4)和(5)得
f(X)≤?藓+■+■
≤?藓+■+■
=■=v■
即f(φ■)?哿φ■.由Schauder不动点定理,可知存在X■∈φ■一定满足f(X■)=X■.从而(X+X■)-■(X+X■)■■=I.即X+X■是Eq.(2)的正定解.再利用定理2可知■是Eq.(2)的唯一正定解.因此X■=■-X,从而
■-X≤v■,■≤■.
参考文献:
[1]Andre C.M.Ran,M.C.B.Reurings.A nonlinear matrix equation connected to interpolation theory,Linear Algebra Appl[J].2004(379):289-302.
[2]Sun J.G.Perturbation analysis of the matrix equation X=Q+A■(■)■A,Linear Algebra Appl[J].2003(372):33-51.
[3]陈小山,黎稳.关于矩阵方程X+A*X■A=P的解及其扰动分析[J].计算数,2005(03).
[4]李静,张玉海.矩阵方程X+A*X■A=Q的Hermite正定解及其扰动分析[J].计算数学,2008(02).
[5]]Hasanov V.I.,Ivanov I.G.,Uhlig F.,Improved perturbation estimates for the matrix equations X±A*X■A=Q.Linear Algebra Appl[J].2004(379):113-135.
基金项目:山东省高等学校科技计划项目(J13LI02)