基于小波变换的图像频域处理研究

【摘要】本文介绍了几种常用的图像频域变换的方法，重点介绍了基于小波变换的方法，并且将传统的傅里叶变换、Gabor变换与小波变换作了详细的比较。小波变换具有丰富的伸缩和平移等运算功能，这些功能可对信号或函数进行多尺度的分析，能够解决传统频域变换不能解决的一些复杂问题。

【关键词】图像处理;变换域;小波变换

0.引言

目前图像处理的方法主要有两大类：基于空间域处理法和基于变换域处理法。虽然空间域可以对图像做一定程度的处理，但为了更有效、更有针对性地对图像进行分析和处理，可以将原本定义在空间域上的图像转换到其他空间进行描述，然后在变换域对图像进行空间域无法实现的特殊处理，并将处理后的结果反变换回空间域，最终得到理想的结果。在本文中将对常用的变换域方法进行介绍，并主要探讨基于小波变换的图像频域处理。

1.常用图像频域变换方法

简而言之，所谓图像变换就是指把图像转换为另一种数学表示方法的操作，通过图像变换，改变图像的表示域及表示数据，可以给后续图像处理工作带来极大的方便。常见的图像频域变换方法主要有以下三种：

1.1傅立叶变换

傅立叶变换是一种正交变换，在一维信号处理中应用的最多。它是线性系统分析的一种有效方法，它能够准确地分析诸如采样点、电子放大器、数字化系统、卷积滤波器、噪声等。把傅立叶变换的理论同其物理原理相结合，将能够解决大多数图像处理中需要解决的问题。

1.2离散余弦变换（DCT）

尽管傅立叶变换在普通信号处理中得到了广泛应用，但是它也有缺点，例如复数运算量过大。如果采用其它合适的完备正交函数系来代替傅立叶变换所利用的正、余弦函数构成的完备正交函数系，就可以减少复数运算量。离散余弦变换是基于实数的正交变换，由于复数运输量减少使得其在运算速度上要略快于傅立叶变换。

1.3离散沃尔什―哈达玛变换

在变换方法上，如果选用方波型的矩形脉冲作为可分离变换的基函数，那么由于其运算主要为乘法运算，从而会提高变换处理速度。沃尔什―哈达玛变换就是方波型变换中最典型的一种，它的主要优点在于存储空间小，运算速度快，适用与需要实时处理的场合。

2.小波变换历史发展

小波变换的概念是由法国地质物理学家J.Morlet首先提出的。J.Morlet在分析傅里叶变换和加窗傅里叶变换的基础上，在1980年提出了小波分析(Wavelet Analysis)的概念，并建立了Morlet小波。1986年着名数学家Meyer第一次构造出了具有衰减性的小波，并与Mallat共同研究出了构造正交小波基的统一方法。同时，Mallat提出多分辨率分析(Multi-Resolution Analysis,MRA)的概念，并给出正交小波变换的快速算法――Mallat算法，该算法从形象地说明小波变换的自适应性多分辨率性。

由于小波变换的自适应和多分辨率特性，使其广泛应用于图像处理、信号处理和模式识别等领域。传统变换方法在信号分析中存在许多不足之处，这是小波变换方法的研究越来越受到人们重视的一个重要原因。

3.小波变换原理

小波分析是当前应用数学和工程学科中迅速发展的一个新领域，与其他频域变换方法相比，小波变换(WT)是空间（时间）和频域的局部变换，从而能更有效地从信号中提取所需信息。下面重点介绍三种小波变换：

3.1连续小波变换（CWT）

所谓小波（Wavelet），即存在于一个较小区域的波。小波函数的数字定义是：设ψ（t）为平方可积函数，即ψ（t）∈L （R），若其傅里叶变换ψ（ω）满足条件：

dω< ∞(4-1)

则称Ψ（t）为一个基本小波或波母函数，是小波函数的可允许条件。

根据小波函数的定义，小波函数一般在时间域具有紧支集或近似紧支集，即函数的非零指定义域是一个有限的范围，这就是“小”的含义。另一方面，根据允许性特点可知：

ψ（ω）| =0，即直流分量为零，因此小波具有正负交替的波动性。

将小波母函数Ψ（t）进行进行平移和伸缩，设其平移因子为τ，伸缩因子（也称为尺度因子）为a，记伸缩平移后的函数为ψ(t）则：

ψ(t）=aψ(a>0,τ∈R)(4-2)

称ψ(t）为参数a和τ的小波函数。由a和τ均取连续变化的值，因此又称为连续小波基函数，它们是由同一母函数ψ（t）经平移和伸缩后得到的一组函数。

3.2二维离散小波变换

二维离散小波变换是一维离散小波变换的推广，其实质是将二维信号在不同尺度上的分解。得到原始的近似分量和细节分量。由于信号是二维的，因此分解也是二维的。分解结果是：近似分量A、水平细节分量H、垂直细节分量V和对角细节分量D。同样也可以利用二维小波分解的结果在不同尺度上重构信号。

当取a=2,b=1及m=j时，将其代入式（4-3），结果为：在LR上，该小波正交基为式4-6所示的函数簇：

ψ(x)=2ψ(2x-n)|(j,n)∈z （4-6）

进一步进行运算后，将得到非常重要的离散正交二进小波变换：

W=2f(x)•h(2x-n)dx= （4-7）

在上式中令ψ′(x)=ψ(x)，则函数f(x)可以由其二进小波变换进行重建：

f(x)=W•ψ′(x)（4-8）

4.总结

在图像处理领域，主要有空间域处理方法和变换域处理方法。本文介绍了几种常用的图像频域变换的方法，将传统的傅里叶变换、Gabor变换与目前发展最快的小波变换作了比较。小波变换在图像频域处理中具有较为明显的优势，它所具有的伸缩和平移等复杂运算功能可对图像进行多尺度的分析和处理，解决了传统频域处理方法不能解决的一些复杂问题。

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