巧用“倒带”原理解决行程类应用题

一般行程类应用题的解决都是按照行程的先后顺序或列表分析，或画线段图分析，但有些题目因数量关系复杂，利用“倒带”原理解决起来更加简捷。所谓“倒带”就是把行程问题中的研究对象由终点向起点进行逆向运动，犹如电影播放中的倒带模式，从中获取更多的题目信息，进而解决应

用题。

问题1.（第十届时代学习报数学文化艺术节）甲、乙两船分别从A、B两港同时出发，匀速相向而行，上午8点在途中相遇，上午9点甲船抵达B港，中午12点乙船抵达A港，两船出发时间是

。

分析：本题中只有三个时间点8时、9时、12时，因甲、乙两船的速度和A、B两港之间的路程都未知，造成相关量表示困难，等量关系也不明显。原行程“倒带”为：中午12点乙船从A港出发，3个小时后（9点）甲船从B港出发，匀速相向而行，1个小时后（8点）两船相遇，相遇后继续前行，两船同时到港。“倒带”形成的逆向运动呈现出行程问题中的典型的“相遇问题”，由此可以得到第一个等量关系：乙船4个小时行驶的路程+甲船1个小时行驶的路程=两港之间总路程。并且因逆向运动中两船同时到达，不容易因中途的相遇而把每艘船的整体运动割裂开来，有利于发现其中所蕴含的类似于“工程问题”中把总路程设为单位1，可以借助行驶时间表示两船的速度，由乙船提前3小时出发可以发现第二个等量关系：乙船行驶整个路程的时间=甲船行驶整个路程的时间+3。

解方程得：x=3。

答案：原题中两船出发的时间为上午6点。

问题2.张老师骑摩托车的速度为每小时45千米，学生步行的速度是每小时5千米，学校与车站相距15千米，如果两名学生要在55分钟内从学校到车站，请张老师用摩托车送，但摩托车的后座只能坐一人，学生不能驾车，请你设计一个方案（学生只能步行或坐摩托车，上下摩托车的时间不计）使两名学生能在最短时间内全部到达车站，并用方程的知识求出这个最短时间。

分析：为了使两名学生在最短时间内到达车站，方案如下：张老师带甲同学骑摩托车，乙同学步行，同时从学校出发，张老师将甲同学送到距离车站一定距离的地方返回，与乙同学相遇后再带上乙同学驶向车站，最后与步行前进的甲同学同时到达车站。为了实现摩托车与甲同学能同时到达车站，放下甲同学的地方必须选择恰当，而正是这个地点的未知，再加上两个同学步行的时间与摩托车“去―回―去”三段行驶的时间交杂在一起，造成本题解决起来非常麻烦。原行程“倒带”为：张老师带乙同学骑摩托车，甲同学步行，同时从车站出发，张老师将乙同学送到距离学校一定距离的地方返回，与甲同学相遇后再带上甲同学驶向学校，最后与步行前进的乙同学同时到达车站。我们发现倒带行程与原题的行程完全一模一样，也就意味着两个同学所走的路程是相等的，即点B到车站的路程与点A到学校的路程是相等的（如下图），所以甲、乙两同学的步行时间是相等的。

由此可见，通过行程问题“倒带”形成的逆向运动中可以呈现出原题中不易觉察的数量关系，由此提供更多的题目信息，帮助我们解决问题。