基于MATLAB的有限元法结构分析

摘要:本文结合平面梁单元实例，简单分析了用MATLAB进行有限元法分析结构的过程，有效证明了该方法的可行性和实用性。

关键词:MATLAB有限元法平面梁单元结构分析

中图分类号： O723 文献标识码： A 文章编号：

1概述

MATLAB是一门计算机编程语言，专门以矩阵的方式来处理计算机数据。它将高性能的数值计算和可视化集成在一起，功能强大，适合多学科、多部门的要求，已广泛地应用于数值计算、图形处理、符号计算、数学建模、小波分析、系统辨识、实时控制和动态仿真等研究领域，是科学研究、工程设计和运算的得力助手。而在结构力学中常用的有限元法也可以用MATLAB软件快速准确的计算出结果。本文简单介绍了用MATLAB进行有限元分析的方法，并以较为常见的平面梁元为例近一步分析MATLAB的编程方法。

2用MATLAB进行有限元法分析过程概述

结构的离散化：将要分析的结构物分割成有限个单元体，并在单元体的指定点设置结点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，并构成一个单元的集合体，以它代替原来的结构。[2]

写出单元刚度矩阵：用MATLAB写出域内每个单元的单元刚度矩阵。[1]

集成整体刚度矩阵：用直接刚度法写出整体刚度矩阵。

引入边界条件：引入支座、外加荷载、位移等边界条件。

求解方程：分解整体刚度矩阵并用高斯法求解方程组。

后处理：根据求得的结构节点位移矢量，求解支座反力、单元节点力和单元应力。

3MATLAB有限元分析编程方法

借助MATLAB的编程功能，可以写出三个M函数文件。

BeamNode_Stiffness(E,I,A,L)——计算单元的刚度矩阵，输入弹性模量E，横截面积A，惯性矩I，长度L，输出单元刚度矩阵k；

BeamNode_Assemble(KK,k,i,j)——进行单元刚度矩阵的组装，输入单元刚度矩阵k，单元的节点编号i、j，输出整体刚度矩阵KK；

BeamNode_Forces(k,u)——计算单元的应力，输入单元刚度矩阵k，节点位移u，输出单元节点力forces。

使用上述M函数时首先要给出参数(E,I,A,L,i,j)的值才可计算，而各M函数的具体编程代码可参考文献[2]。

4实例分析

如图所示的框架结构，其顶端受均布力作用，用有限元方法分析该结构的位移。结构中各个截面的参数都为：，，。

对该问题的解答过程如下：

4.1结构的离散化

将该结构离散为三个单元，有关节点和单元的信息见表1。

4.2写出单元刚度矩阵

首先在MATLAB环境下，输入弹性模量E、横截面积A、惯性矩I、长度L，然后针对单元1和单元2单元3，分别二次调用函数BeamNode_Stiffness，就可以得到单元的刚度矩阵k1(6×6)和k2(6×6)，且单元2和单元3的刚度矩阵相同。

>> E=3E11;

>> I=6.5E-7;

>> A=6.8E-4;

>> L1=1.44;

>> L2=0.96;

>> k1=BeamNode_Stiffness(E,I,A,L1);

>> k2=BeamNode_Stiffness(E,I,A,L2);

4.3集成整体刚度矩阵

将单元2和单元3的刚度矩阵转换成整体坐标下的形式。由于该结构共有4个节点，则总共的自由度数为12，因此，结构总的刚度矩阵为KK(12×12)，对KK清零，然后两次调用函数BeamNode_Assemble进行刚度矩阵的组装。

>> T=[0,1,0,0,0,0;-1,0,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,-1,0,0;0,0,0,0,0,1];

>> k3=T.*k2.*T;

>> KK=zeros(12,12);

>> KK=BeamNode_Assemble(KK,k1,1,2);

>> KK=BeamNode_Assemble(KK,k3,3,1);

>> KK=BeamNode_Assemble(KK,k3,4,2);

4.4引入边界条件并求解方程

该问题的位移边界条件为。因此，将针对节点1和节点2的位移进行求解，节点1和节点2的位移将对应KK矩阵中的前6行和前6列，则需从KK(12×12)中提出，置给k，然后生成对应的载荷列阵p，再采用高斯消去法进行求解。

>> k=KK(1:6,1:6);

>> p=[3000;-3000;-720;0;-3000;720];

>> u=k\p

4.5后处理

在得到整个结构的节点位移后，由原整体刚度方程就可以计算出对应的支反力；先将上面得到的位移结果与位移边界条件的节点位移进行组合，可以得到整体的位移列阵U(12×1)，再代回原整体刚度方程，计算出所有的节点力P(12×1)，按式P=F+R的对应关系就可以找到对应的支反力。

5结语

本文结合实例探讨了MATLAB软件在结构有限元法分析方面的应用，实践证明该方法简单实用。而随着MATLAB软件的普及，其在结构力学和土木工程方面的应用前景将更加光明。

参考文献

[1]李旭伟，刘艳珂，张永水.用MATLAB进行结构的有限元法分析.重庆交通学院学报.2007

[2]曾 攀.有限元分析基础教程.清华大学.2008

[3]徐荣桥.结构分析的有限元法与MATLAB 程序设计