时间：2022-09-11 09:12:00
同学们在求解数学问题的过程中，稍不注意就有可能用错公式，看错数据.近年来各地的中考试题打破常规的化简、计算、解方程等模式，巧妙地推出了“作业中的错解”为背景的新颖试题，给人以耳目一新之感.那么对于这样的试题应该怎样求解呢？下面举例说明，相信定会对同学们有所启迪，以后再遇到此类试题，就不会感到手足无措了．
1 逆向思考 快速求解
例1 某人解方程x2+bx+c=0时，把求根公式错用为b±b2-4?1?c2，结果得到的解是x1=2，x2=-3，则方程的正确解是 ．
解法1 因为把求根公式错用为b±b2-4?1?c2，所以其所求的是方程x2-bx+c=0的二根，即x1=2，x2=-3是方程x2 - bx+c=0的实根.则由一元二次方程根与系数的关系，得
2+(-3)=b,
2×(-3)=c.
解之得b=-1,
c=-6.
从而原方程为x2 - x - 6=0，其解为x1=-2，x2=3．
解法2 由条件知x1=2，x2=-3是方程x2+bx+c=0的根，由方程根的定义知
22-2b+c=0,
(-3)2+3b+c=0.
解之得b=-1,
c=-6.
故方程的正确解为x1=-2，x2=3．
2 将错就错 简捷求解
例2 同例1．
解法1 根据题意，显然有
b+b2-4c2>b-b2-4c2，
所以b+b2+4c2=2,
b-b2-4c2=-3.
解之得b=-1,
c=-6.
故方程的正确解为x1=-2，x2=3．
解法2 根据题意可得
b+b2-4c2+b-b2-4c2=2+(-3);
b+b2-4c2×b-b2-4c2=2×(-3).
解之得b=-1,
c=-6.
故方程的正确解为x1=-2，x2=3．
3 正误合用 巧妙求解
例3 同例1．
解析 方程x2+bx+c=0的正确解为
x1′=-b+b2-4c2，x2′=-b-b2-4c2.
又由已知条件：x1=b+b2+4c2=2，x2=b-b2-4c2=-3．
因为x1′+x2=-b+b2-4c2+b-b2-4c2=0，所以x1′=-x2=3．
又因为x2′+x1=-b+b2-4c2+b-b2-4c2=0，所以x2′=-x1=-2．
点评 上述解法绕道而行，没有求原方程的系数，而是根据正确的求根公式与误用的求根公式之间的关系，巧妙地求出了方程的正确的解．
4 挖潜辩弦 迅速求解
例4 在解二次项系数为1的某一元二次方程时，甲看错的常数项，据此得出方程的两根为1和4；乙看错了一次项系数，据此求出的两根为-1和6.则正确的方程为（ ）
A. x2-5x-6=0
B. x2+5x+6=0
C. x2+5x-6=0
D. x2-5x+6=0
解析 设正确的方程为x2+bx+c=0.因甲看错了常数项，说明没有看错二次项系数和一次项系数，所以根据甲求得的两根可求出一次项系数b，由1+4=-b，得b=-5.而乙看错了一次项系数，说明没有看错二次项系数和常数项，所以根据乙得到的两根可求出常数项c，由（-1） × 6=c，得c=-6，故正确的方程为x2-5x-6=0，应选A．
5 系数为零 特值求解
例5 已知x=-2，y=23，求kx－2(x－13y2)+(－32x+13y2)的值.一位同学在做题时，把x的值错看成x=2，但最后也得出了正确的结果，已知计算过程无误，据此可断定k= ．
解析 将原式化简，可得(k-72)x+y2.依题意知代数式的值与x无关，所以k－72=0，则k=72．
点评 本题还可用赋值法列方程，根据题意x=2与y=23时与x=2，y=23时代数式的值相等，于是-2（k－72）+32=2（k－72）+32，解之得k=72．
6 化简代入 神奇求解
例6 小红在学习过程中，遇到了这样一道题：计算（2x3 - 3x2y - 2xy2） - （x3 - 2xy2+y3）的值，其中x=12，y=-1.他把x=12看成了x=-12，可是计算的结果却是正确的，他百思不得其解，请你解开他心中的谜团．
解析 化简可得，原式=-2y3.因为结果中不含x项，所以结果与x无关，因此小红把x=12看成x=-12，计算的结果一定正确的．
点评 由本题可见，小红在计算时是把x、y的值直接代入原式求值的.求代数式值的问题，通常是先化简在求值．
例7 有一道题“先化简，再求值：x-2x+2+4xx2-4÷1x2-4，其中x=-3.”小聪做题时把“x=-3”错抄成了“x=3”，然而他的计算结果却是正确的.请你告诉小聪这是何故？
解析 原式化简可得，原式=x2+4.因为无论当x=3或x=-3时，都有x2=3，x2+4=7，所以把“x=-3”错抄成了“x=3”，计算结果也是正确的．
例8 有这样一道题“计算：x+x2-4x-x2-4+x-x2-4x+x2-4-x2（x > 2）的值，其中x=1005.”某同学把“x=1005”错抄成“x=1050”，但他的计算结果却是正确的.请你说明出现这种情况的原因．
解析 原式化简可得，原式=(x+x2-4)24+(x-x2-4)24-x2=4x2-84-x2=-2.因为原式的值恒为-2，其结果与x的大小无关，所以把“x=1005”错抄成“x=1050”，对计算结果没有影响．
例9 为了估计一次考试的成绩，某工作人员在求出38名考生分数的样本平均数后，因为疏忽而把这个样本平均数和38个分数混在了一起，然后求出这39个分数的样本平均数，则后一个样本的平均数与正确的样本平均数的比是（ ）
A. 1 ∶ 1
B. 38 ∶ 39
C. 39 ∶ 38
D. 2 ∶ 1
解析 设38名考生分数的样本平均数为，39个分数的样本平均数为x′，则
x′=139［(x1+x2+…+x38)+］
=139(38+)
=．
故x′∶ =1∶ 1，应选A．