降维法在大学数学课程中的应用初探

摘 要：降维法是一种重要的数学方法，包括降低函数的元数、函数的次数、微分方程的阶数、积分的重数、行列式和矩阵的阶数、线性方程组和随机变量的元数等。其中心思想就是化繁为简，化未知为已知，符合认知规律。降维法在大学数学诸多课程中有着广泛的应用，能增强知识间的纵向和横向联系，培养学生思维的灵活性和创造性。

关键词：降维法；高等数学；线性代数

数学中的“维”指的是一个数学问题中元素的自由度，即该元素的坐标数。“降维”则通过一些数学方法，如代入、换元、求导、积分等，将高维的数学问题降为低维，从而使复杂的数学问题得到简化，达到解决数学问题的目的。笔者结合多年实际教学经验，谈一谈“降维思想”在解决数学问题中的运用。

一、在高等数学课程中的应用

1.降低微分方程的阶数

在可降阶的微分方程中，可以通过换元的方法，将高阶的微分方程化为低阶的微分方程，进而求解。对于y（n）=f（x）型的微分方程，可以换元令z=y（n-1），原方程可化为一阶微分方程，积分一次解得y（n-1），逐次换元，积分n次可得原方程的通解。对于y''=f（x，y'）型和y''=f（y，y'）型的微分方程，可令y'=P将原方程化为一阶微分方程，解出y'，又得一阶微分方程，解之可得原方程的通解。

2.降低积分的重数

重积分通常可以利用直角坐标、柱面坐标和球面坐标进行计算，坐标的选择取决于积分区域和被积函数的特征，具体计算则通过固定变量降低被积函数的元数，同时利用投影降低积分区域的维数，从而将重积分化为累次积分。二重积分可以化为两个单次积分，即“2=1+1”。三重积分有“先二后一”“先一后二”和三次积分法，即“3=1+2”“3=2+1”和“3=1+1+1”。

3.降低函数的元数

多元复合函数求导时，可利用代入法将所有的中间变量换成最终的自变量，降低函数的元数，然后再对最终的自变量求导。对于仅含等式约束的极值问题或者称为条件极值问题，通过直接求解由等式约束所构成的方程或方程组，把一些变量用其他变量来表示，从而消去问题中的某些变量，降低目标函数的元数，将原问题转化为无条件极值问题。

4.降低函数的次数

在求某个幂级数的和函数时，如果此级数不具有和函数公式，可以先利用逐项求导公式先降低一般项函数的次数，然后利用已有公式求出和函数的导数，最后再积分就可以获得所求和函数。

二、在线性代数课程中的应用

1.降低行列式的阶数

利用行列式按行（列）展开法则，对行列式降阶，可将计算一个n阶行列式转化为计算n个n-1阶行列。当行列式中的某行（列）具有较多的零元素时，降阶法的计算量较小，如果行列式中零元素较少，可以先利用行列式的性质将行列式的某行（列）元素化为多个零，然后再展开计算。用降阶法求矩阵的特征多项式可以省去分解因式的麻烦，直接求得矩阵特征值。

2.降低矩阵的阶数

在矩阵的和、差、数乘、乘法以及逆矩阵诸多运算中，可以通过分块的方法，以子块为元素，得到分块矩阵，在形式上实现矩阵降阶，利用某些子块的特殊性可避免重复计算，减少计算量。

3.降低线性方程组的元数

利用消元法求解线性方程组主要包括两个关键步骤：消元和回代。消元和回代其实都是为了降低方程组的元数，方便方程组求解。用初等行变换求解线性方程组先将增广矩阵化为行阶梯形，目的是去除多余方程，把矩阵降维得到秩，通过观察系数矩阵的秩、增广矩阵的秩和方程组的元数三者之间的关系，判别方程组解的情况，再把行阶梯形化为行最简形，通过回代得到方程组的解。

三、在概率论与数理统计课程中的应用

利用全概率公式求事件发生的概率，如果诸多划分子空间事件及其之下该事件的条件概率已知，通过划分样本空间，降低事件的维数，则可求出该事件发生的概率。对于两个相互独立的事件，积事件发生的概率可降维成两个事件单独发生的概率之积。两个相互独立的随机变量，联合分布函数可降维成两个边缘分布函数之积。对联合概率密度积分可降维求出边缘分布函数。

四、结语

在解题中通过对问题情境进行适当降维，可以转换我们思考问题的角度，并使问题中的关系在新的维系中更加直观、简约。经常进行降维的训练，对于加强知识联系、培养思维的灵活性有着重要作用。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]同济大学数学系.线性代数（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[4]李瑞军.升维法在高等数学中的应用[J].忻州师范学院学报，2010（26）：5.

作者简介：宋国亮（1977- ），男，黑龙江省富裕县人，教授，研究方向：油田最优化理论及应用。