关于解决一般的含参的二次函数求最值问题的探究

对于大多数刚接触含参的二次函数求最值问题的人都往往会有些迷惑，对此类题型掌握有所欠缺，本文总结了含参的二次函数的几类问题和求解方法，并附有习题，便于及时做题巩固。

首先我们要了解在不含参数的情况下二次函数y=a*x2+b*x+c是如何求最值的：

情况一：在整个定义域上求最值

方法：配方为y=a*（x-h）2+k再求最值直接利用二次函数的顶点坐标是（-b/2a，（4ac-b2）/4a）.

情况二：在指定区间上求最值

方法：step1判断二次函数的对称轴是否在该区间内；

step2如果二次函数的对称轴不在该区间内，则区间的端点值代入二次函数式即可求出最值；如果二次函数的对称轴在该区间内，则利用情况一中的方法求出最大（小）值；

step3再分别计算端点的函数值，进行比较后再确定最小（大）值，或比较出距离对称轴最远的端点值，其函数值就是最小（大）值。

二次函数中常数为参数时对二次函数最值的判断与计算都十分容易，在下文也不做讨论.含参数的二次函数求最值问题可分为三类：“动轴定区间”、“定轴动区间”以及“动轴动区间”.

第一类：“动轴定区间”类问题又可分为三种：

第1种：二次项系数为参数y=t*x2+b*x+c；第2种：二次项系数与一次项系数同为参数y=t*x2+t*x+c；第3种：一次项系数为参数y=a*x2+t*x+c.其中t是参数，a、b、c均为常数.

方法：对于第1第2种情况要先对二次项系数的正负进行分类再按照不含参的二次函数讨论在指定区间上求最值的方法进行讨论；第3种情况可以直接按照不含参的二次函数讨论在指定区间上求最值的方法进行讨论.

例1：求y=a*x2+2*x-3在区间[-1，3]上的最值.其中a是参数

解：先求出对称轴为x=-1/a，顶点坐标为（-1/a，-3-1/a），端点值-1，3的函数值分别为a-5，9*a+3.

（1）a>0，（i）二次函数的对称轴在该区间的左侧，-1/a0矛盾，这样的a不存在，故不讨论此类情况；（iii）二次函数的对称轴在该区间内，-1≤-1/a≤3，即a≥1，最小值为-3-1/a，端点函数值经过比较后，最大值为9*a+3.

（2）a

综上所述，a≥1，最小值为-3-1/a，最大值为9*a+3；0

例1变式：求y=a*x2+2*a*x-3在区间[-3，3]上的最值.其中a是参数。

显然本题中的对称轴是定下来的，但是二次项系数为参数还是要进行分类讨论，函数图像开口向上时，最小值是x=-1代入所得的函数值，最大值可通过端点值比较得到；函数图像开口向下时，最大值是x=-1代入所得的函数值，最大值可通过端点值的比较得到.详细解答不在此赘述，请读者自行思考解答。

第二类：“定轴动区间”类问题：

方法：分两类讨论（a）区间在对称轴的左侧（右侧），即左端点的值大于-b/2a（右端点的值小于-b/2a），则直接代入端点值计算其函数值即可求得最值；（b）对称轴在区间内，则最大（小）值即为函数在定义域上所取得的最大（小）值，最小（大）值则可以通过直接代入两个端点值后所得的函数值比较得到。

例2：求y=x2+2*x-3在区间[a，a+3]上的最值.其中a是参数。

解：先求出对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，4），端点值a，a+3的函数值分别为a2+2*a-3，a2+8*a+12。

（i）二次函数的对称轴在该区间的左侧，-1

综上所述，-1

例2变式：求y=x2+2*x-3在区间[a，2*a]上的最值.其中a是参数。

要先确定区间是有意义的，就要使a0，再类似例题中的方法去讨论解答。在此不做详细解答，请读者自行思考解答.

第三类：“动轴动区间”类问题：

解决这类问题的总体思路就是综合前两类问题的解决方法。

方法：如果二次项系数含参数，先对二次项系数的正负进行讨论，再利用第二类“定轴动区间”问题的解决方法进行讨论；如果二次项系数不含参数，则直接利用第二类“定轴动区间”问题的解决方法进行讨论。

本类问题的解答则是综合上述两类问题的解答方法进行解答，故而在此只举出一道例题供读者思考。

例3：求y=a*x2+2*x-3在区间[a，a+3]上的最值.其中a是参数。 （下转第209页）