基于时域的单位样值响应求解方法

【摘要】离散时间系统单位样值响应是描述离散时间系统的重要信号之一。总结了各类基于时域的离散时间系统单位样值响应求解方法，包括迭代法、经典时域方法、规范化求解方法等。为说明各类方法如何使用，给出了应用实例，有利于学生从多个角度理解并掌握离散时间系统单位样值响应的求解。

【关键词】离散时间系统 单位样值响应 时域方法

【基金项目】受上海市精品课程项目“信号与系统”（B190109002-2009）项目资助。

【中图分类号】TN911 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）07-0242-02

离散时间系统的单位样值响应是描述系统的重要信号之一。除了时域的求解方法，还可以利用z变换、离散时间傅里叶变换、系统状态变量方程求解等思路，而最直接的是在时域中进行求解。

目前国内外的教材中对离散时间系统单位样值响应的时域求解方法主要包括迭代法和时域经典方法等[1-5]，本文旨在总结已有基于时域的单位样值响应求解方法，并介绍规范化的求解方法。为了说明如何使用这些方法，给出应用实例。

1.基于时域的离散时间

设描述阶线性时不变离散时间系统的差分方程为：

■aiy（n-i）=■bkf（n-k） （1）

其中f（n）是系统的激励，y（n）是系统的响应，设a0=1。对一般的离散时间系统，单位样值响应和单位阶跃响应是描述系统的两个重要信号，一旦系统确定，这两类响应是确定的。这两类响应的求解是离散时间系统分析需要掌握的重要内容之一。以下将对从时域中直接求解单位样值响应的方法进行总结。

1.1迭代法

由于单位样值响应是特殊的零状态响应，因此系统初始无储能，此时系统差分方程为：

h（n）=-■a1y（n-i）+■bkδ（n-k） （2）

且h（-1）=0，h（-2）=0，…，h（-N）=0，故可利用迭代方法求解单位样值响应。迭代法特别适合利用计算机求数值解，但缺点是很难直接得到其闭式解。

1.2时域经典法

与连续时间系统单位冲激响应求解类似，由于单位样值响应是在激励为单位样值序列时的零状态响应，该激励信号仅在0时刻有非零值，因此可将激励信号转化为初始条件，利用经典的求解系统齐次解方法。

由系统初始状态：h（-1）=0，h（-2）=0，…，h（-N）=0和迭代法求解边界条件：h（-1），h（-2），…，h（N-1），且系统零输入，求解系统在该条件下的齐次解，即为系统的单位样值响应。

当系统特征根无重根时，有：h（n）=■Aiλ■■ （3）

其中{λ■■，i=1，…，N}为系统的特征根，代入所有边界条件到上式中有：

h（0）=A1+A2+…+ANh（1）=A1λ■■+A2λ■■+…+ANλ■■h（N-1）=A1λ■■+A2λ■■+…+ANλ■■

对该方程组求解即可确定待定系数，进而确定系统的单位样值响应。

1.3规范化求解方法

与文献[5]中介绍的连续时间系统冲激响应的规范化求解方法一致，还可利用系统的线性性和时不变性求解系统单位样值响应。

首先定义离散时间系统对应的规范化系统：

■aiy（n-i）=x（n） （4）

该规范化系统可认为是N个一阶系统级联的结果，而第i个子系统的单位样值响应为：λ■■u（n），故有规范化系统单位样值响应为：

hx（n）=[λ■■u（n）]×[λ■■u（n）]×…×[λ■■u（n）] （5）

由于系统具备线性性和时不变性，因此原系统的单位样值响应为：h（n）=■bk[hx（n-k）] （6）

该方法的优势是无需求解系统边界条件，也无需考虑时域经典方法中，当N≤M时需考虑的特殊情况，因此使用较方便。

利用单位阶跃响应求解：

由系统的线性性和时不变性可知，离散时间系统的单位样值响应是其单位阶跃响应的后向差分，即有：

h（n）=g（n）-g（n-1） （7）

其中g（n）是系统的单位阶跃响应。故当已知系统的单位阶跃响应时，可直接利用后向差分可求解单位样值响应。

2.应用举例

为说明各类方法如何应用，以下给出实例，并从多个角度阐述如何从时域对其求解。

已知描述某系统的差分方程为：y（n）-5y（n-1）+6y（n-2）=f（n）+3f（n-1），求解该系统的单位样值响应。

2.1迭代法

由系统差分方程以及h（-1）=0，h（-2）=0，…，h（-N）=0，可得：

h（0）=δ（0）=1，h（1）=5h（0）+3δ（0）=8，h（2）=5h（1）-6h（0）=34，h（3）=5h（2）-6h（1）=122，…。由此可见，该方法适合用计算机进行求解，但不利于直接得到闭式解。

2.2时域经典法

由系统的差分方程有系统单位样值响应为：h（n）=[A1・（2）n+A2・（3）n]u（n），且系统边界条件为：h（0）=1，h（1）=8，因此有

h（0）=A1+A2h（1）=A1（2）+A2（3），对其求解得A1=-5，A2=6，故系统单位样值响应为：h（n）=[-5・（2）n+6・（3）n]u（n）

2.3规范化求解方法

该系统对应的规范化系统为：y（n）-5y（n-1）+6y（n-2）=x（n），该系统是二阶线性时不变系统，可视为两个一阶子系统的级联，因此有规范化系统的单位样值响应为两个一阶子系统样值响应的卷积和，为hx（n）=[2nu（n）]×[3nu（n）]=[3n+1-2n+1]u（n），由系统的线性性和时不变性，可得单位样值响应为：h（n）=hx（n）+3hx（n-1）=[-5・（2）n+6・（3）n]u（n）

若已经该系统的阶跃响应，还可通过后向差分计算系统的单位样值响应。

3.结束语

本文对基于时域的离散时间系统单位样值响应求解方法进行了总结，并给出相应的例题描述如何使用这些方法。特别的，提出了一种规范化求解方法，该方法实现简单。

参考文献：

[1]奥本海姆著，刘树棠译.信号与系统（第二版）[M].西安：西安交通大学出版社，1998

[2]郑君里，应启珩，杨为理.信号与系统[M].北京：高等教育出版社，2000

[3]管致中，夏恭恪，孟桥.信号与线性系统（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2004

[4]吴大正，信号与线性系统分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006

[5]杨忠根，任蕾，陈红亮，信号与系统[M].北京：电子工业出版社，2009

作者简介：

任蕾（1979-），女，博士生，讲师，主要从事通信与信息系统、信号与信息处理的教学与研究工作。

陈红亮（1975-），男，硕士，工程师，主要从事通信与信息系统、信号与信息处理的教学与研究工作。