合情推理在小学数学教学中的渗透

摘 要： 合情推理是数学发现的基本方法之一，在小学数学教学中有广泛的应用，主要有归纳法和类比法。本文主要用归纳思想和类比思想对小学数学教学中的案例进行分析，以期一线教师在教学中更好地运用合情推理，强化小学生的解题技巧，提高小学生的解题能力。

关键词： 小学数学教学 合情推理 归纳法 类比法

一、合情推理的概念

合情推理就是合乎情理的猜测方法，是从观察、实验入手，在推理者个人数学经验、数学直觉等背景的影响下，根据已知的某些数学事实，运用某种非严格的但合乎情理的推理形式，作出新的判断的思维过程，主要有归纳法和类比法。

归纳法，又称归纳推理，指的是通过对某类数学对象（或事物）的个别或部分进行研究，得出关于一类事物的一般结论的方法[1]。小学数学中常用的是不完全归纳法，也就是：仅仅通过对一类事物部分对象的考察，就作出该类事物具有一般性的论断[2]。这种推理方法得到的结论并不一定可靠，需要作进一步证明，但在小学数学中只需多举例验证就可以。

类比法，又称类比推理，是指根据两个不同事物之间，某些方面的相似点而推理出它们在其他方面也可能存在相似或相同的推理方法[3]。波利亚指出，类比的关键就是将两个事物在某些属性上的相似之处化为明确的概念，若将它们变成清楚的概念，也就阐明了类比关系。类比推理是数学创造性思维活动的重要方法，就如波利亚所说：“类比是个伟大的引路人。”对于数学猜想而言，类比推理的意义就在于“触类旁通”、“旁敲侧击”，它提供了数学发现和数学求解的线索。

合情推理是数学发现的基本方法之一。与合情推理相比，论证推理是可靠的、无可置疑的，数学论证推理主要用来对数学发现的、体现事物的性质和数量关系的猜想或模式的雏形进行本质性的考察，判断或验证其真实性，从理论上和逻辑上进行严格论证，为新模式和新理论的形成提供保障。虽然论证推理是可靠的、无可置疑的，合情推理在数学中却有广泛的应用，其中归纳法与类比法最普遍、最重要。许多数学结论及相应的证明只有靠合情推理才能得以发现。

二、合情推理案例分析

（一）归纳思想案例分析

案例一：在方框内填入适当的数（人教版小学数学课本三年级上册第二单元课后练习P26）。

这个题对于我们来说非常简单，只要掌握了三位数的连续退位减法后，将竖式计算化为推理就可得出答案，如下：

但这个题对于小学生来说就没有那么简单，要理解如何得出答案的过程就不太容易。学生仅知道答案是远远不够的，教师要做的是为学生呈现解题过程，启发学生思考这个题的结果是怎么得来的。一位教学经验丰富的老师用了下面的方法启发学生：

先计算下面的式子：

19-1=？摇？摇 19-2=？摇 ？摇19-3=？摇？摇

19-4=？摇？摇 19-5=？摇 ？摇19-6=？摇？摇

19-7=？摇 ？摇19-8=？摇 ？摇19-9=？摇？摇

计算后得出如下答案：

19-1=18？摇 ？摇19-2=17？摇 ？摇19-3=16？摇？摇

19-4=15？摇 ？摇19-5=14？摇 ？摇19-6=13？摇？摇

19-7=12？摇 ？摇19-8=11？摇 ？摇19-9=10？摇？摇

从以上计算可以看出：“19减掉任何一个1位自然数后，其结果都是两位自然数。”由此得到启发：被减数的十位被个位借走了“1”。只有在这样的情况下，差才会是两位数，才与方框里要填数的特性相符。从“19-9=10”可以得到启发，10被借走“1”后恰好是一个个位数，减数的十位上可能填9，如下面的竖式：

为了进一步验证减数和差十位上填9是否准确，还需推算出它们个位上的数。十位上借走了“1”，个位上要填的数一定是比7大的数，它们是8或9，所以有：

经计算，上面的推算正确，进一步验证了减数十位填9的猜想。

考虑到小学生的思维发展水平，需要通过教师的指导找到一种明了的解题思路。在教师的指引下，学生从自己熟悉的算式中，采用不完全归纳法，以一类事物若干个别对象或子类具有某一属性为前提，而得出该类事物都具有这一属性的推理形式，从这个推理形式中归纳出他们自己可能还未意识到的结论。案例一中的推理遵循如下基本推理规则：

19-1的结果是两位数

19-2的结果是两位数

……

19-9的结果是两位数（其中减数1，2，…，9都是一位自然数）

————————————————

所以，19减去任何一个一位自然数都是两位数。

其中，19-1，19-2，…，19-9是“19减去任何一个一位自然数”的个别对象或子类。

这个题中不仅包含了“减去任何一个一位自然数后，其结果都是两位自然数”的结论，还包含了“18减去任何一个比9小的自然数，其结果都是两位数”这一结论，对这些结论的认识也属于科学认识的范畴。科学认识的过程，需要经历一个从个体到一般的发展过程，即从积累大量的观察、实验材料，到转化成一般原理的过程。通过个性可以认识和发现共性，在这个过程中，需要以归纳法发挥作用，归纳出客观事物的个性中蕴含着共性，在这里的“共性”是指：用归纳法从案例一中发现的两个具体结论，它们指导学生找到解决问题的方法。那么从发现的结论中可以判断出：被减数197的十位被个位借走了“1”、减数的十位上填9，从而找到解决案例一的突破口。

小学阶段的学生以形象思维为主，学生学习某个新概念之前需要接触大量的具体事例，再从这些事例中发现概念，学生发现的概念就是隐藏在客观事物中的共性，这就是归纳思想的体现。

（二）类比思想案例分析

案例二长方形（正方形）与长方体（正方体）的类比，如下图：

图 长方形与长方体的类比图

长（正）方形各边的关系与长（正）方体各面之间的关系相似：长方形每一边恰与相对的一边平行，而与其余的边垂直；长方体的每一面恰与相对的一面平行，而与其余的面垂直。平面几何中的直线就相当于立体几何中的平面。比如，要知道一般位置的四个平面（构成一个三棱锥）把空间分成几个部分，可以先找出平面上一般位置的三条直线（交点互异）把平面分成几个部分，然后再用类比的思想，将其与空间的四个平面作比较，进而得出结论。

平面与空间之间有同一性，因此可以类比，但具有同一性的任何两个不同事物必有相异性，正是这种相异性限制了类比的范围。如果类比的结论正好揭示了它的同一性，则结论正确。事实上，长方形各边之间的关系与长方体各面之间的关系相似，类比的结果正好揭示了它们的同一性。三棱锥与交点互异的三条直线也有同一性，可以类比，它们两者间的类比关系要更复杂些。三棱锥各边、各面与交点互异的那三条直线之间有相似关系；同时，三棱锥四个面的交点与三条交点互异直线的三个交点之间也有相似关系，可以类比。根据它们两者之间存在的相似性，用推算“交点互异的三条直线将平面分成7个部分”的方法，推算出一个三棱锥将空间分成15个部分。

当我们遇到一个新问题或一些比较复杂的问题时，不能立即找到解法，可以先找到类比问题的解法（这个类比问题的解法比待解问题简单）。通常情况下，在类比过程中进行推测、联想，将各个知识点串联起来，不仅能开阔视野、拓宽思路，还能强化解题技巧，两者配合使用，相得益彰。

参考文献：

[1]吴炯圻，林培榕.数学思想方法——创新与应用能力的培养[M].厦门：厦门大学出版社，2009.8：156.

[2]刘娟娟.有效教学[M].长春：东北师范大学出版社，2005.7：111.

[3]叶立军.数学方法论[M].杭州：浙江大学出版社，2008.6：249.