“数列”教学有感

“数列”章节的知识，一直是高考考查的重点、热点、难点，也因为其丰富深刻的数学内涵、灵活多变的解题技巧，而成为高中数学教学的一个难点.笔者认为，在处理数列问题时，思路之所以混乱，往往是源于我们尚未触及其本质；解题之所以困难，时常是因为没能把握住关键.那么，如何在数列教学过程中引导学生探求本质、把握关键呢？为此，笔者在数列教学过程中进行了一些尝试，现与读者分享.

一、以本为纲，挖掘本质

在“数列”一章中，我们经常会遇到一些构思精巧的解题思路，究其本质在于“消”.教材中有关数列四个常见公式的推导，为我们充分展示了化无限为有限的思路以及由之孵化而出的精妙消法.让我们重新回顾一下这四个公式，换个角度或许会有新的收获.

（1）执果索因，由表及里.比如等差数列的通项an=a1+（n-1）d，众所周知，它是由累加法推导而得.在教学中，我们往往会注重公式的推导和应用，却忽略了花几分钟对公式形式加以反思这一环节.内容决定形式，公式是原理的外在表现.通过对公式形式的反思，我们可以更加深刻地理解其内涵.我们知道等差数列的定义可以解读为差等于常数d，即an-an-1=d；或者差等于差，即an-an-1=an+1-an，通俗地讲就是两项关系或是三项关系.而通项中an=a1+（n-1）d，则只涉及an，可将其理解为一项.那么，就其本质而言，等差数列通项的推导方法——累加法，是一种消法，是从等差定义中的两项关系出发消剩an的方法.通项公式中的d便由此而来.也许有人会问，为何不用三项关系？其实道理很简单——两项到一项更近！至于a1，是我们所能罗列的极限——a2 -a1 =d；而n-1，则是一边求和的结果.由此又可以发现，累加法的关键在于能否求和.又例，等比通项an=a1qn-1.如果忽略形式，那么等比通项与等差通项是一样的：an是目的，q是起源（等比定义中的两项关系），a1是罗列的结果，n-1是因为连乘了n-1项，也是今后诸如anan-1=nn-1等问题处理方法的鼻祖.

累加法和连乘法的本质都是消，只是手段不同而已.由上述两个例子我们可以看到，其实公式的形式中已经体现了方法和原理，由因导果固然是教学中常用的方式，执果索因也是发现规律的重要思路.

（2）追本溯源，体会经典.比如等差数列求和公式：Sn=n（a1+an）2，这是一个关于高斯的流传甚广的故事.据E.T.贝尔考证，当时布特纳所提出的问题应该是81297+81459+…+100899，而非传说的从1加到100.其实问题的关键不在于数字的大小，而在于小高斯的算法究竟是50×（1+100），还是50（1+100）2呢？前者，是神童.因为他善于观察，发现首尾相加的规律，能遵循规律找到方法.后者，则为大师.因为他在前者的基础上看到了问题的关键——省略号.其实很多数列问题的复杂性就集中体现在省略号上.省略号代表的是无限、未知和抽象.即使首尾相加，在清点数对项数时往往还需在省略号中操作.我们更愿意相信高斯所采用的算法是后者！当我们还纠结于在省略号中划分数对时，高斯已借助倒序相加，目光轻轻掠过省略号，投向更远处.倒序相加的本质，即在于淡化省略号的负面影响.

能解决问题的是人才，能提出问题的是天才，发现问题并能解决问题的是大师.追随他们的脚步，哪怕是一步、两步，对于提升学生数学素养，培养学生学习数学的兴趣都有着积极的意义.数学几千年的发展史注定了它不只是一门自然科学，也是一门人文科学.

（3）联想类比，触类旁通.例如等比求和公式Sn=a1（1-qn）1-q，它所采用的推导方法是错位相减法.有趣的是，它的方法原理与化学中的“萃取法”过程惊人地相似：若两种液体混杂（相当于等差数列an乘以等比数列bn），我们可滴入萃取液（即乘以等比数列的公比q），然后摇一摇使其充分混合（错位，相减），接下去静置分层（利用等比求和公式），最后问题得到解决（消去省略号，化无限为有限）.经典的方法都并不复杂，曹冲称象，司马光砸缸，不用千斤顶，四两照样拨千斤！

以上我们简单地回顾了课本的四个公式的推导方法.重温经典方能有所超越.从方法上起步，会成为一个优秀的学生.理解本质，也许就能触碰到大师的脉搏.

二、注重归纳，化圆为方

（1）从结论入手加以归纳.让我们来看一例题：已知{an}，{bn}为等差数列，Sn，Tn是前n项的和.若SnTn=2n+13n+2，①求a5b5；②求a5b6.此题①②两问条件相同，方法却有所不同.在这里Sn是题眼所在，公式选择上的差异，会导致解题方法的区别.对此，我们可以通过对几种求和公式的比较来试着找到问题的关键.等差数列的求和公式一般可以认为有三个：①Sn=a1+n（n-1）2d，②Sn=n（a1+an）2，Sn=An2 +Bn.由于公式①中带有基本量a1，d更适用于联立方程求解时采用，前提是必须条件充足，所以姑且称其为计算公式；公式②中的a1+an往往可以根据等差性质加以转化.由于转化的特例是变成相同两项，就本质而言就是消元（这往往在条件不足时会起到“柳暗花明又一村”的效果），我们称之为技巧公式；公式③Sn=An2 +Bn是由公式①a1+n（n-1）2d整合而得到，由于突出了变量n，强化了函数特质，故称之为函数公式.从基本量分析，本题涉及两个等差数列{an}，{bn}，将带有四个参数，运用公式①显然不太适合.若选用公式②只需令n=9即可.而在第二问求a5b6中，由于底标不同，仍旧选用公式Sn=n（a1+an）2，则会出现n1 =9，n2 =11，显然又不合适.于是，我们可以试试公式③Sn=An2 +Bn，Tn=Cn2 +Dn， SnTn=An2+BnCn2+Dn=2n+13n+2，易知Sn=kn（2n+1），Tn=kn（3n+2），通过a5 =S5 -S4，b6 =T6 -T5即可.在相同的条件下，不同的解法有时只是源于公式的选择不同.把握同一背景下的公式之间的细微差别，才能把握同一条件下的不同问题解法上的差别.

（2）从条件入手加以归纳.由于等差求和的函数公式Sn=An2 +Bn是一元二次函数的形式，顺理成章地经常会考查最值问题.这类问题又该如何让学生牢牢地把握解题的方向呢？一元二次函数最值的关键在于对称轴，而函数公式又是由Sn=a1+n（n-1）2d整合而来.那么，若条件可转化为两个等式的问题，往往可以从解基本量入手，从而直接求得对称轴.若只有一个等式，则考虑能否通过观察得到对称轴.如已知S4 =S9，那么对称轴在6.5处，易知最值在6或7处.上述是含有等量条件的问题，若没有等式，则可以考虑通过相邻两项的符号变化来判定最值情况.综上所述，我们可以通过条件形式——两个等式、一个等式、没有等式（即有不等式）来把握Sn=An2 +Bn的最值问题的解法.在这里，同一问题的不同解法是基于条件上的差别.把握同一问题的不同解读，才能穷举可能的条件形式对症下药.

归纳是数学学习中必备的能力和学习习惯.归纳的质量直接影响着对同题异构、异题同构等诸如此类的问题或合并处理或区别对待的能力.通过归纳，我们可以将灵活多变的数列问题关进笼子里，化圆为方.这样，复杂问题相对而言会得到简化.

从上例可见相同的方法技巧下，高人一等的眼光，是简化问题、厘清思路的关键.

分析越接近本质，方向才越加明确；善于理清规律，方法才能得到优化；强干弱枝，培养眼光，思路才会清晰.数列内容的学习，对师生而言，不仅是一种挑战，更是一个提升数学思维品质、养成良好分析习惯、开拓眼界的机会.以上即为笔者在“数列”教学过程中的一些感悟，不足之处敬请指正.