解排列组合问题的几个区别

【摘要】在高中数学教学中，排列组合应用问题是一个难点，学生在这部分内容的学习中，积极性高，但又常出现“会而不对”的现象，不经点拨还不知道错在何处. 我认为在这部分内容的教学中，可以从下面几个方面加以解决，使学生感悟解决此类问题的方法，从而真正掌握这部分知识.

【关键词】和与积；排与组；和与差；积与商；重与漏

1.和与积的区别

分类计数原理和分步计数原理是解决排列组合应用题的最基本的工具，可以说对每道应用题我们都要考虑在计数的时候进行分类或分步处理，至于一些较复杂的事件，那么两个原理还要综合起来应用.而分类和分步的区别就是是否能独立完成一件事，正确掌握这两个工具，对解决排列组合应用题至关重要.

2.排与组的区别

排列和组合是计数问题中的两类主要问题，它们形同实异，一字之差，能否正确的加以区分是解决问题的第一道坎. 排列与组合的实质是顺序问题. 排列是讲顺序的，组合则不讲顺序. 在理论上二者容易区别，但一碰到具体问题就不大好区分了，这就需要根据问题的条件和要求，结合生活经验做出判断.

例1 平面内有10个点，以其中每两个点为端点的线段共有多少条？以其中每两个点为端点的有向线段共有多少条？

分析 前者中线段AB与线段BA是同一线段，与端点的顺序无关，因此前者为组合问题；后者中有向线段AB与BA是不同的，因此与顺序有关，是排列问题.

例2 由3个3和4个4可以组成多少个不同的七位数？

分析 由于许多组数、排队问题都是有顺序的，所以学生误以为是排列问题. 实际上，交换相同的3 或4仍是原数，因此这是一个组合问题.

3.和与差的区别

即直接法和间接法.“和”指直接法，即直接求出符合题意的所有不同方法数，可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般地，特殊者优先考虑，其余则“一视同仁”；“差”指间接法，采用“正难则反”的策略，从反面剔除不符合题意的部分.

例3 过三棱柱任意两个顶点的直线中，异面直线共有多少对？

分析1 直接法，对各种情况的异面直线分类讨论，侧棱的条数为3条，且和每一条侧棱异面的直线有4条；侧面的对角线条数为6条，且和每一条侧面对角线异面的直线有6条，且和每一条边异面的直线有5条.已知直线l1与l2构成异面直线，则l2与l1也构成异面直线，因此异面直线共有12（3×4+6×5+6×5）=36（对）.

分析2 间接法，一个三棱锥可以确定3对异面直线，一个三棱柱可以组成C46-3=12个三棱锥，所以共有36对异面直线.

显然，上例中间接法比直接法简洁得多，那么是否不管什么问题用“减”法都比用“加”法简单吗？

4.积与商的区别

积、商问题指的是排列组合中一种重要的又不易区分的问题——分组与分配问题，部分定序问题.

（1）分组问题

例4 6本不同的书，分成三组，每组至少一本，有多少种不同的分法？

可见，在教学中一定要使学生注意“积”、“商”问题，即均匀或部分均匀分组时要用“商”，分配问题时要注意用“商”.

5.重与漏的区别

学生在排列组合学习过程中最常犯的错误，也是学习难点之一，就是解题中的重复、遗漏现象.

排列组合问题错综复杂，解法灵活多样，教学中我们要引导学生理解和掌握常见的问题类型和常规的解题方法，这样可以使学生少走弯路，辨析真伪，真正掌握这部分知识.