用构造法巧解初中数学竞赛题

构造法就是在数学解题过程中利用题目中已知的条件以及结论原本所具有的性质，从而来构建满足结论的数学对象，并且借助数学对象来解决实际的数学问题。数学构造法是一种富有创造性的解题方法，也是解决数学问题的基本思维方法。运用这种方法来解答初中数学竞赛中的有关题目，关键在于如何构造。充分的挖掘已知条件与结论的关系，将问题与学生现有的公式、概念、图形等理论知识联系起来，将问题原有的蕴涵的关系和性质能够很清晰的呈现出来，从而恰当的构建有关的数学模型，进而解决题目中的有关问题。通过这种方法来进行解题，是培养学生创新能力、激发学生思维能力的重要手段，同时也是提高学生分析问题、解决问题的能力的有效方法。下面笔者结合自己多年的教学经验，简要的介绍了几种数学竞赛解题中的构造法。

一、构建方程

构建方程式是在初中数学竞赛解题过程中一个较为基本的方法。在实际的解题过程中我们要善于发现问题、善于与已学过的知识相联系、认真的分析题型，根据问题的结构特征以及题目中的数量关系，来充分的挖掘题目中的有关知识点的联系，从而来构建方程，让解题变得更加的巧妙、合理。其实在面对有些问题时，如果按照常规方法来进行解答会比较的困难，但是如果可以根据实际问题的特征来构造有关的方程式，然后找到解决问题的答案。例如：如果关于x的方程式ax+b=2（2x+7）+1有无数个解，那么a和b分别是多少？

解：将原方程式ax+b=2（2x+7）+1整理可得，（a-4）x=15-b

因为原一元一次方程有无数个解，所以a-4=0，15-b=0，解得a=4，b=15。

二、构建几何图形

在进行几何题的解答时，借助几何图形的性质，通过巧妙的构建，可以很容易找到解题的方法，不仅仅能够让问题快速的解决，而且有利于提高学生的几何能力和思维能力。例如在ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D。求证：AB+BD=AC。

分析：按照一般解答几何题的规律，在遇到三角形的角平分线的时候，可以构造等腰三角形，然后借助等腰三角形的性质，通常可以解决一般的问题。因此，做CB的延长线到F，使三角形BAF为等腰三角形，且角F等于角1，再根据等腰三角形的外角关系，得出角ABD等于角1加上角F，即角ABD等于2倍的角1、又等于2倍的角F，而角ABD等于2倍的角C，所以角C等于角1等于角F，三角形AFC为等腰三角形，所以AF等于AC，最终得出三角形ADF为等腰三角形，因此，AF=DF=DB+BF=DB+AB，即AB+BD=AC。

三、构建函数模型

在解答初中数学竞赛题时，根据数学符号，以及题目中的已知和未知条件的关系，将文字题目转化为数学符号，从而建立函数模型关系式。再利用已经学过的数学基础知识，来解决函数问题。例如，某加工厂现有A种原料290千克，B中原料360千克，计划利用这两种原材料来生产甲乙两种食品，共50件。已知生产一件甲种产品，需要使用A原材料9千克，B原材料3千克，可获得700元的收益，生产一件乙种产品，需要A原材料4千克、B原材料10千克，可获得1200元的收益。求（1）按照甲、乙两种产品的生产件数，设计几中方案；（2）设生产甲乙两种产品的总收益为y元，生产甲种产品x件，试写出总收益与生产甲种产品数量之间的函数关系，并且利用函数的性质来证明（1）中哪种方案收益最大？最大收益是多少？

解析：（1）设需要生产甲种产品x件，那么需要生产乙种产品（50-x）件

由题意可得9x+4（50-x）≤360

3x+10（50-x）≤290，解得：30≤x≤32

因为x为整数，所以x=30、31、32

所以有三种方案：（1）生产甲种产品30件，乙种产品20件；（2）生产甲种产品31件，乙种产品19件；（3）生产甲种产品32件，乙种产品18件。

（2）由题意可以得出：y=700x+1200（50-x）=-500x+60000

由于y随x的增大而减小，所以当x取最小值的时候，利润最大

答：y与x的函数关系式为y=-500x+60000，（1）中第一种生产方案获利最大，利润为45000元。

综上所述，构造法在初中数学竞赛解题过程中起着重要的功效，不同的题型构造不同的方程、图形、函数等都可以发挥不同的效果，这样既可以促进学生对数学基础知识的掌握，并渗入到题目中加以综合考虑，也对培养学生的学习兴趣，激发学生的多元化思维都发挥着至关重要的作用。因此，在初中数学竞赛解题中，如果能够引导学生从多角度，多思维的去思考问题，可以得到很多的技巧及独特的解题方式，还能够增加学生对基础知识的理解程度，培养学生的思维能力，提高学生的解题能力。