古塔变形模型分析

摘 要 本文研究的是古塔变形的相关问题，根据给出的1986年、1996年、2009年、2011年不同的观测数据，应用垂直投影法计算出了各次测量古塔的中心坐标；在分析古塔的倾斜程度时，我们采用的是空间直线拟合的方法，对比了中心点与其余几个观测点的倾斜程度，发现该古塔经过多年洗礼，215年里并为倾斜；古塔的弯曲我们主要从古塔是否发生沉降变形来分析考虑，发现古塔有沉降迹象，在1mm～2mm之间。在分析古塔扭曲情况时，我们将每年的中心坐标做了均值处理，假设其为定点，进而分析了每年底层同一观测点的夹角变化，由此来分析该古塔的扭曲情况，发现4年间古塔的偏移角度在0.6°左右。

关键词 古塔的变形；垂直投影法；空间直线拟合；matlab计算

中图分类号O29 文献标识码A 文章编号 1674-6708（2013）107-0136-02

1 问题分析

古塔的变形问题在建筑学中已经是个很成熟的问题了，中国是个文明古国，各式古塔是先人遗留给我们的宝贵遗产，千年以来，未了保护好他们，很多人献出了生命；在这个科技发达的和平年代，国家越来越重视对其的保护，更是有很多学者多年来一直致力于古塔的变形原因研究及保护措施研究。本文给出的数据只是一个个例，数据来源于2013年全国大学生数学建模竞赛C题，根据给出的四组数据确定古塔各层中心位置的通用方法，并计算出各次测量的古塔各层中心坐标，然后分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况、最后对塔的变形趋势做详细的分析。在文中分析很多方法也是借鉴于其他优秀学者的研究成果，结合实际数据对此做出的分析。

2 模型假设

1）不考虑古塔地基的影响，假设各种自然条件包括地震、飓风等对古塔地基无影响；2）假设此古塔建筑材料为砖； 3）忽略古塔本身的形制结构的影响。

3 模型的建立与求解

3.1各层中心坐标的模型与求解

由于文中附件1给出的数据1986年、1996年古塔的13层第5个观测点的数据缺失，我们做了均值化处理，将该层其余观测点的均值做其坐标，计算得出1986年第5个观测点的坐标为（566.916，522.886，52.88）， 1996年第5个观测点的坐标为（569.9704，523.1144，52.796）。

附件1中2009年、2011年古塔塔尖数据缺失，同样我们将1986年与1996年的观测数据的均值做为2009年的数据，同时考虑到2009年与2011年数据误差不大，2011年塔尖数据我们和2009年的塔尖数据做了一致化处理。在求各层中心点的坐标时，我们采取的是垂直投影法，考虑到不知道古塔的形状，那么每个观测点不一定在同一水平面上，我们将给出坐标数据看成是各观测点在同一水平面上投影的坐标，由此各点构成了一个多边形，各层观测点的中心坐标我们考虑其为多边形的重心坐标（我们假设该古塔为砖制结构），然后依据多边形重心坐标计算公式（见[1]）计算得出结论。通用计算方法如下：

其中，公式中的为各观测点的横坐标，为各观测点的总坐标，为点的个数，为边形的面积。竖坐标我们是将每层8个观测点的均值做中心点的竖坐标。借助matlab强大的计算功能计算出结果。

3.2古塔的倾斜、弯曲、扭曲模型分析与求解

3.2.1古塔的倾斜程度分析

古塔的倾斜程度分析在古塔的稳定性研究中非常重要，如果古塔倾斜的厉害，再加上自然风吹雨打、地震、飓风等影响，文物岌岌可危。所以在研究古塔的倾斜程度上，我们阅读了大量的文献资料，最终选定以每年各层的中心坐标为研究基础，通过空间直线拟合的方法（见[2]），借助matlab拟合命令将各层中心坐标拟合出来，然后利用矢量余弦定理计算出直线的倾斜角。

1986年、1996年、2009年、2011年中心坐标拟合直线方程分别为：，，

综合以上四年的分析与数据显示，可以看出1986年至2011年25年以来该塔几乎没有发生倾斜。考虑问题的严谨性，我们同时还对1986年、1996年、2009年、2011年同一观测点做了拟合，并求出其倾斜角度，发现结论也是并无多大变化，且倾斜角度与中心直线倾斜角度非常接近，由此我们得出结论该塔1986年至2011年25年以来该塔几乎没有发生倾斜。

3.2.3 古塔的扭曲程度分析

古塔的扭曲程度对古塔的稳定性检测也有着非常重要的意义。在对古塔扭曲程度分析上，我们主要是在同层同平面内，假设了一定点，1986年的中心点为第一定点，1986与1996的中心均值为第二定点，1996年与2009年的中心均值为第三定点，2009年与2011年的中心均值为第四定点；为了简化模型，我们仅计算了第1层，第7层及第13层的数据。

我们这以第一层第一中心点为例，直线斜率设为，直线斜率设为，由两直线夹角公式，计算得出夹角。

其他点计算方法类似，计算出1986年1、7、13层的夹角度数分别为43.556，42.374，41.213；1996年1、7、13层的夹角度数分别为43.647，42.395，41.367；2009年结果1、7、13层的夹角度数分别为44.121，43.243，41.755；2011年1、7、13层的夹角度数分别为43.967，43.056，41.953。

从数据中可以看出，1986年至1996年间古塔并无明显扭曲变化，2009年至2011年间古塔也无明显扭曲变化，但总的观察1986年至2011年25年间发现，古塔还是扭曲了一点点，有了0.6度左右的扭曲度数，若是放大时间至千年，千年前建的古塔，每25年扭曲0.6度，那么千年以来该塔扭曲程度算是明显了，只是肉眼很难观测出而已。

3.2.4 古塔的弯曲程度分析

在对古塔的弯曲分析上，我们是结合古塔的倾斜程度及扭曲程度综合考虑分析的。同时综合计算了每年每层塔高，1986年1-塔尖的塔高依次为1.783、7.314、12.75、17.075、21.716、26.229、29.832、33.345、36.848、40.147、44.435、48.709、52.536、55.119；1996年1-塔尖的塔高依次为1.783、7.314、12.75、17.075、21.716、26.229、29.832、33.345、36.848、40.169、44.435、48.707、52.836、55.119；2009年1-塔尖的塔高依次为1.764、7.309、12.732、17.069、21.709、26.211、29.824、33.339、36.843、40.161、44.432、48.699、52.818、55.091；2011年1-塔尖的塔高依次为1.763、7.29、12.726、17.052、21.703、26.204、29.817、33.336、36.822、40.144、44.424、48.684、52.813、55.087；

从以上数据可以看出1986年与1996年的层高无明显变化，误差几乎没有，但是1996年至2009年每层塔高几乎都在下降，而且下降趋势在1-2个mm左右，对比1986年与2011年的数据，也是如此，这个落差有点大，随着时间累计，该古塔沉降迹象会愈显突出。

3.3 古塔的变形趋势分析及相关保护措施建议

综合前面对古塔的倾斜程度、弯曲程度、扭曲程度的分析可以看到，该塔的结构善稳定，千年来几乎没什么倾斜，但随着时间的累积，有扭曲迹象、有沉降趋势，这与古塔的高度有着之间关系，同时受外界自然风力、地震等的影响，也直接影响到古塔的扭曲、弯曲情况，所以建议有关部门定期对古塔进行检测，及时对古塔外墙或是内墙脱落部分进行修补；对古塔的稳定性来说，古塔的沉降也是影响其稳定性的重要因素，古塔的沉降部分直接影响因素为古塔的地基，若是因为地震受损，必须及时对地基进行巩固，可采取填沙、填石等方法。当然，修补更是离不开学者对古塔情况的综合分析。

4 模型的优缺点分析

优点：1）计算认真，借助matlab分析数据，结论准确；2）分析思路清晰。

缺点：1）题中没有告诉我们古塔的观测点的坐标是如何测出来的，但在建筑物测量中，有着固定的测量方法和仪器，所以其坐标方向定位每次应该是一致的，但由于时间和知识的局限性，我们未能对古塔中心偏移的方向做详细说明；2）在对古塔倾斜程度分析上，由于时间有限，未能计算出古塔的倾斜位移值；同时由于时间有限未进行合理性检验；3）在对古塔扭曲程度分析上，我们仅取了2个参照点进行比较，结果欠说服力；4）在对古塔弯曲程度分析上，由于时间和知识的局限性，我们对古塔的具体沉降分析为能做具体数据分析，未能构造出具体模型。

参考文献

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[2]龚杨.空间直线拟合的一种方法[J].齐齐哈尔大学学报，2009（2）：64-67.

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