古塔变形的数学分析

摘 要：古塔受到长年累月的各种外力因素影响后，容易发生各种变形，通过对古塔建立各种变形模型，以便对其变形情况进行详细的分析，为其保养、修复等工作提供必要的理论依据。

关键词：古塔变形；扭曲；数学模型

中图分类号：O242.1 文献标识码：A收稿日期：2016-09-18

作者简介：冯英华（1977―），男，山东寿光人，潍坊科技学院副教授，硕士，研究方向：数学教育。

考虑到古塔可能的各种变形情况，本文从古塔的倾斜程度、弯曲程度、扭曲程度等变形情况进行分析。在分析之前，管理部门通过委托测绘公司在近30天的时间里对古塔进行了四次定点测量，得到了系列数据。

1.塔的倾斜情况

由于古塔最初是垂直于地面的，该塔的倾斜情况即是偏离了原来的位置有多少，根据每层的测量数据求出古塔各层的中心点坐标，这些中心点中的大多数点所在的空间直线即为倾斜直线。

先利用MATLAB软件画出第一次测量年份各层中心点的散点图（见下图），可以看出其大致排列在一条空间直线上，我们设拟合函数为：

x=az+b

y=cz+d

其中a、b、c、d为待定系数。利用Matlab可求出该空间直线的方程为：

x=0.0107z+566.6336

y=-0.0072z+522.7259

该直线的方向向量为s={0.0107， -0.0072，1}，地面的法向量为n={0，0，1}，这两向量之间的夹角即为倾斜角θ。

cosθ= ≈0.99917

则arccosθ≈0.012896，即这一年的倾斜角为0.738886度。

同理可求得其他年份的倾斜直线、倾斜角。

2.分析古塔的弯曲情况

我们可以用塔的中心点的弯曲情况来表示塔的弯曲变形情况，由于中心点弯曲变形，直接利用Matlab进行拟合空间曲线难度较大，考虑到塔的中心点大多在塔中心的倾斜线所在的垂面内，所以可以在此垂面内重新建立平面直角坐标系，将空间曲线拟合问题转化为平面内的曲线拟合问题，用第一层的中心点为坐标原点，假定各层的中心点都能投影在古塔倾斜直线的投影所成的那条直线上（个别中心点偏离引起的误差忽略不计），并以该直线为轴，以第一层的中心点为坐标原点，平行于轴的直线为轴建立一个新的直角坐标系，则可以得到各观测点在新坐标系下的坐标。

然后我们在该坐标系内利用Matlab拟合出中心点弯曲形成的曲线形式，为了找出更为合适的曲线方程，我们分别进行了第二次、第三次、第四次和第五次的曲线拟合判断分析。

通过对四次测量中对应的中心点的拟合，可以看出第五次拟合已经非常精确，更能够比较精确地体现出古塔的弯曲程度。同时考虑到建筑物在自然条件下通常上半部分比下半部分弯曲程度更大，所以我们选用拟合程度更好的第五次曲线。

设拟合函数为：

y=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f

根据Matlab程序运行可得每个测量年份的古塔弯曲拟合曲线。

利用曲率公式K= ，可得各又行牡愕那率。

从计算结果得出如下结论：在这四次测量中曲率从第一层逐渐变小，中间略有波动，弯曲程度较小，从第十层往上弯曲程度逐渐变大。

3.分析古塔的扭曲情况

物体因受到外力作用而扭曲变形，相对于原来位置而发生的改变程度称为扭曲度。在扭曲过程中，物体上的点投影到坐标水平面上，点的投影相对于原来位置点的投影发生变化而形成的投影曲线称为扭转曲线。扭转曲线上在一点处的曲率称为该点的扭曲度。扭曲度的大小反映了物体的扭转程度。

我们用古塔的中心点来研究古塔的扭曲情况，将各层中心点投影到xoy平面上，投影点所形成的曲线的弯曲情况即为古塔的扭曲情况。

根据投影点坐标和Matlab可拟合出测量年份的二次曲线并求得方程。

利用曲率公式K= ，可得各中心点的曲率。

由于测量次数比较少，在拟合古塔变形趋势时，拟合度不高。随着以后测量次数的增加，需进一步修正变形趋势的曲线。

参考文献：

[1]王文波.数学建模及其基础知识详解[M].武汉：武汉大学出版社，2007.

[2]何祝斌，苑世剑，滕步刚，等.多曲率旋转壳体液压胀形实验研究[J].塑性工程学报，2003（5）.