利用导数解最优化问题

2007年考试说明中要求“会利用导数解决某些实际问题”，具体就是会利用导数知识解决实际生活中的最优化问题，其关键是建立函数模型.具体步骤需先审清题意，明确常量与变量及其关系，再写出实际问题的函数关系式.一般情况下，对于实际问题需要注明变量的取值范围.下面以2007年高考题为例，举例说明：

一、投资最优化问题

例1 （2007年湖北高考题）

商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤30）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．

（I）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；

（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

分析：商品销售利润是根据卖出的件数与实际售价共同决定的，由于每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值的平方成正比，所以应当合理降价，以便多卖，必然存在一个数，使两者之积最大，即商品销售利润最大.

解：（Ⅰ）设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2)，

又由已知条件，24=k•22，于是有k=6，

所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9072，x∈[0,30].

（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有f′(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12)．

故x=12时，f(x)达到极大值.因为f(0)=9072，f(12)=11264，所以定价为30-12=18元能使一个星期的商品销售利润最大．

二、设计最优化问题

例2 （2007年北京高考题）

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S．

（I）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；

（II）求面积S的最大值．

解：（I）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O-xy（如图），则点C的横坐标为x．

点C的纵坐标y满足方程 + =1(y≥0)，

解得y=2 (0

S= (2x+2r)•2 ，

=2(x+r)•

其定义域为{x|0

（II）记f(x)=4(x+r)2(r2-x2)，0

则f′(x)=8(x+r)2(r-2x)．令f′(x)=0，得x= r．

因为当00；当

即梯形面积S的最大值为 r2．

点评：在实际问题中，若函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大（小）值即可，不必再与端点函数值比较.

巩固训练

1、（2007年福建高考题）

某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为（12-x）2万件.

（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；

（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.

2、（2007年重庆高考题）

用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

巩固训练答案：

1、解：（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：

L=(x-3-a)(12-x)2，x∈[9,11]．

（Ⅱ）L′(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x)．

令L′=0得x=6+ a或x=12（不合题意，舍去）．

3≤a≤5，8≤6+ a≤ ．

在x=6+ a两侧L′的值由正变负．

所以（1）当8≤6+ a

Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a)．

（2）当9≤6+ a≤ 即 ≤a≤5时，

Lmax=L(6+ a)=(6+ a-3-a)[12-(6+ a)]2=4(3- a)3，

所以Q(a)=9(6-a)， 3≤a< ，4(3- a)3，≤a≤5.

2、解：设长方体的宽为x(m)，则长为2x(m)，高为h= =4.5-3x(m)(0

故长方体的体积为V(x)=2x2(4.5-3x)=9x2-6x3(m3)(0

从而V′(x)=18x-18x2=18x(1-x)．

令V′(x)=0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1．

当0

故在x=1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值．

从而最大体积V=V(1)=9×12-6×13=3(m3)，此时长方体的长为2m，高为1.5m．

答：当长方体的长为2m，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m3.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”