解析几何中的最小(最大)距离问题

在解析几何中，有一种有关距离的最小（或最大）的问题.有些同学遇到此类问题，常常不知道从何下手.实际上这类问题的规律是比较明显的.

1.圆锥曲线上的点到某直线上的点的最小（最大）距离问题

〖例题1〗设P是抛物线y=x2上的点，若P点到直线2x-y-4=0的距离最小，求P点的坐标.

解法一:设P点坐标为(x0,x02),由点到直线的距离公式得P点到直线2x-y-4=0的距离是:

d= = = .

可见:当x0=1时,d取最小值.此时P点坐标为(1,1).

解法二:如图,平移2x-y-4=0这条直线到与抛物线相切,则切点为抛物线上到直线距离最小的点P.

设平移后的切线方程为:2x-y+D=0.由方程组:y=2x+Dy=x2得:x2-2x-D=0判别式,所以D=-1.所以x=1，所以P点坐标为(1,1).

解法三:设P(x0,y0),因为y′=2x,所以过P点的切线斜率k=2x0=2,所以x0=1,y0=x02=0,故P点坐标为(1,1).

点评:解法一从点到直线的距离公式出发，利用曲线方程是y=x2，设曲线上的点坐标为(x0,x02)，达到用一个字母设出点的两个坐标的目的，将距离转化为点的横坐标的一元函数，利用函数最值的知识将问题解决.也非常明显地体现了解析几何的特点――用代数的方法解决几何问题.解法二则将问题转化为交点个数的问题，将一个比较生疏的问题转化为一个常见问题来解决.解法三在解法二的基础上引用了导数知识，非常轻易的解决了问题，体现了综合运用知识的目的.

2.圆锥曲线上的点到某定点的最小（最大）距离问题

〖例题２〗设Ｐ是抛物线y=x2上的点，若P点到点Ｑ（0，2）的距离最小，求P点的坐标.

解法一：设P点坐标为(x0,x02),由两点间的距离公式得P点到点Ｑ的距离的平方是：

d2=x02+(x02-2)2=x04-3x02+4=(x02- )2+ ，可见当x02= ，x0=± 时，d取最小值.此时P点坐标为( ， )或(- ， ).

解法二：如图：设以点Ｑ为圆心的圆与抛物线相切，则切点就是所求的Ｐ点.

设圆的半径为r，圆的方程为x2+(y-2)2=r2，由方程组：y=x2x2+(y-2)2=r2得y+(y-2)2=r2，即y2-3y+4-r2=0，

由判别式Δ=9-4(4-r2)=4r2-7=0得r2= ，此时，

y2-3y+ =0，y= ，x=± ，

所以Ｐ点坐标为或( ， )或(- ， ).

由于抛物线方程的特殊性，当一点在抛物线上时，设点是比较容易的，但如果已知的点在椭圆或双曲线上时，设点时需要技巧．

〖例题３〗设Ｐ是椭圆 +y2=1上的点，若P点到点Ｑ（0，2）的距离最大，求P点的坐标.

分析：如果设Ｐ点的横坐标为x0，则其纵坐标这y0= ± ，下一步的计算会困难很大，此时，可利用三角公式sin2θ+cos2θ=1，令 =cos2θ，y2=sin2θ得到椭圆的参数方程：x=2cosθ，y=sinθ.

解法一：设Ｐ点的坐标为（2cosθ，sinθ），则Ｐ点到Ｑ点的距离的平方为

d2=4cos2θ+(sinθ-2)2=4cos2θ+sin2θ-4sinθ+4=5+3cos2θ-4sinθ

=5+3(1-sin2θ)-4sinθ=8-(3sin2+4sinθ)，可见当sinθ=- 时，d取最大值.此时cosθ=± ，Ｐ点坐标为( ，- )或(- ，- ).

解法二：如图，当以Ｑ点为圆心的圆与椭圆外相切时，切点应是所求的Ｐ点，设圆的半径为r，圆的方程为x2+(y-2)2=r2，由方程组：x2+4y2=4x2+(y-2)2=r2

得4y2-(y-2)2=4-r2，即3y2+4y-8+r2=0，

由判别式Δ=16-12(-8+r2)=-3r2+28=0得r2= ，此时，3y2+4y+ =0，y=- ，x=± ，

所以Ｐ点坐标为( , - )或(- ,- ).

3.圆上的点到某定直线或定点的最小（最大）距离问题

〖例题４〗设点Ｐ是圆(x-1)2+(y-2)2=1上的点，若点Ｐ到直线2x-y-4=0的距离最小，求P点的坐标.

分析：如图，由于圆的特点，此类问题都转化为圆心到定直线或定点的最小（最大）距离问题，所求的点Ｐ就是过圆心与已知直线垂直的直线与圆的一个交点，该交点位于圆心和垂足之间．

解：圆心为（1，2）点，过Ｐ点垂直于直线2x-y-4=0的直线方程是x+2y-5=0.

由方程组x+2y-5=0(x-1)2+(y-2)2=1得x=1+ ，y=2- ，所以Ｐ点从标为(1+ ，2- )．

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”