从波利亚思想看广东高考理科数学第20题

2012年广东高考理科数学试题揭晓后，普遍感觉试题较浅，可能平均分会大增.结果也证实了这一说法，这份试题的难度、信度、效度和区分度都比较理想.但第20题例外，很多老师认为这道题太浅，一看就知道怎么做，甚至有老师说这道题等于送分.事实果真如此吗？全省平均1.94分，难度系数0.14，属于很难的试题.为什么预测与结果会如此大相迳庭呢？下面进行深层次的剖析，与同行分享.

一、考题与分析

题目：（2012年广东高考理科数学20）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：■+■=1（a>b>c）的离心率e=■，且椭圆C上的点Q（0，2）到的距离的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n）使得直线l∶mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由.

解析：本题是一道综合性很强的题目，考查直线、圆与圆锥曲线的问题，涉及到最值与探索性问题，立意为考查学生的综合分析问题与运算求解的能力，函数思想、转化思想、分类讨论以及数形结合都有所涉及.

（1）由e=■得a2=3b2，椭圆的方程为x2+3y2=3b2，椭圆上的点到点Q的距离，d=■=■=■（-b≤y≤b），当-b≤-1即b≥1时，dmax=■=3，得b=1.当-b>-1即b

（2）若存在点M（m，n）满足题意，易知■=■■ OA■·■ OB ■sin∠AOB=■sin∠AOB，当∠AOB=90°时，■取得最大值■，这时点O到直线l的距离dO-l=■=■，所以m2+n2=2，又因为M（m，n）在椭圆■+y2=1上，■+n2=1，将两者联立解得m2=■，n2=■，所以点M的坐标为（■，■）或（-■，■）或（■，-■）或（-■，-■），对应的OAB的面积为■.

点评：这是常规的解法，从过程来看的确不难，立意明确，第（1）小题是常规的代入并配方再分类讨论，第（2）小题结合图形更简单.可就这道解析几何题全省考生的平均得分仅为1.94.

二、波利亚思想

1. 波利亚简介

美籍匈牙利数学教育家G·波利亚在解题方面的先驱人物.波利亚在很多领域都有突出贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语.作为教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》《数学与似真推理》《数学的发现》三部世界名著上，涉及“解题理论”“解题教学”“教师培训”三个领域.波利亚的解题理论主要通过怎样解题表来实现的，很多数学家在以后的著作中将其完善和发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法.他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析总结出一般的规律或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用.例如笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合、特殊化思想、反推、合情推理、变式训练等，都在解题中行之有效.尤其有特色的是，他将上述的模式设计在一张表中，并通过一系列的问句表达出来，使得更有启发意义.

2. 怎样解题表

波利亚是围绕“怎样解题”“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上.波利亚在风靡世界的《怎样解题》一书中给出的“怎样解题表”，是一部“启发小词典”.高考备考也是如此，审题，解题，讲题，贯穿全过程，研究波利亚思想有助于此项工作，我们先看“怎样解题”表的呈现：

弄清问题

拟定计划

实现计划

回顾

三、考题的诠释

下面用波利亚思想对这一考题进行再分析，并进行比较，看看该不该是一道很难的考题.

（1）弄清问题

先看第（1）小题，条件有两个：一是已知椭圆C：■+■=1（a>b>0）的离心率e=■，二是椭圆C上的点Q（0，2）到的距离的最大值为3.结论是求椭圆C的方程.再看第（2）小题，条件是直线l∶mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大.结论是一个探索性问题，问是否存在满足条件的点M（m，n），如果存在求出点M（m，n）的坐标以及相应的OAB的面积；如果不存在，说明理由.

（2）拟定计划

找出条件与结论之间的联系.如果找不出直接的联系，可以对条件与结论进行进一步解读，求椭圆的方程即求a、b的值，用离心率e=■进行一步转化，椭圆的方程转化为x2+3y2=3b2，求a、b的值转化为求b的值.再解读第二个条件，椭圆C上的点Q（0，2）到的距离的最大值为3.你得把这个距离表示出来，设（x，y）为椭圆C上的点，则它到Q（0，2）的距离为d=■=■=■（-b≤y≤b），根号下面就是关于y的二次函数在闭区间[-b，b]上的最值问题，于是有下面的分类讨论也是很常规的过程.再看第（2）小题，无论是否存在满足题意的点，都假设存在，欲知OAB的面积是否有最大值，得将它表示出来，于是有■=■■ OA■·■ OB ■sin∠AOB，且圆O：x2+y2=1是单位圆，式子又转化为■=■sin∠AOB，当∠AOB=90°时，■取得最大值■，这时结合图形知OAB是直角边为1的等腰直角三角形，于是圆心O到直线l的距离dO-l=■=■，接下来的计划拟定就会迎刃而解.

（3）实现计划

实现计划就是将上述解题思路转化为过程规范表达，把拟定计划过程中需要补充的环节补充完整，其中第（2）小题需要证明点M的存在性，这里可以利用直线l∶mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，先得出满足的一个条件，具体过程这里不再赘述.

（4）回顾拓展

这是备考最容易忽略的环节，关于本题，谈两点拓展，从纵向看，第（1）小题也可以从几何角度切入，结合图形解决，因为点Q（0，2）到椭圆上的点的距离的最大值为3，以Q（0，2）为圆心，以3为半径的圆Q的方程为x2+（y-2）2=9，联立椭圆的方程x2+3y2=3b2，整理得2y2+4y+5-3b2=0，这时圆Q与椭圆相切，故判别式=16-8（5-3b2）=0，解得b2=1从而获得结果.第（2）小题也可从方程入手解决，虽然过程复杂一些，但也体现解析几何中的数形结合思想.从横向看，本题也是解析几何题的一个缩影，宏观地说解析几何题主要考查两类问题，即求曲线的方程与根据方程研究曲线.这里再举两例.

例1（2012高考真题四川理科卷15） 椭圆■+■=1的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当FAB的周长最大时，FAB的面积是____________.

解析：本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查推理论证能力、基本运算能力，以及数形结合思想，难度适中.当直线x=m过右焦点时FAB的周长最大，m=1；将x=1带入解得y=±■；所以SFAB=■×2×■=3.

例2（2012高考真题浙江理科卷21） 如图，椭圆C：■+■=1（a>b>0）的离心率为■，其左焦点到点P（2，1）的距离为■.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分.（1）求椭圆C的方程；（2） 求ABP的面积取最大时直线l的方程.

解析：本题考查椭圆几何性质，直线与椭圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想、基本方法和运算求解能力.限于篇幅这里省略过程.

通过以上分析，2012广东高考理科数学第20题出现1.94这样的低分也就不足为奇了，需要考生有所思，有所悟.波利亚思想的实质就是对题路进行归纳，通过深入分析总结出一般的模式，在以后的解题中得到启发.回过来反思备考，如果忽略了这个环节，试题做再多，未必有相应的效果.从全卷来看，前108分用不着太多模拟训练，机械训练再多，也并不意味着后面42分能很好地完成，还得遵从规律.