“影子问题”三步曲

在新的浙教版教材中增加了“投影和视图”这章内容后，有关的“影子问题”就经常在测量物体（垂直地面）高度的题目中出现。由于物体在太阳光线下所产生的影子的位置不同，就有了三类不同的“影子问题”有待我们去解决。

一、影子在水平地面上

例1.（教材）数学兴趣小组要测量校园内的一棵树高AB。如图1，把长2.40m的标杆CD直立在地面上，量出树的影长BE为2.80m，标杆的影长DF为1.47m，求树AB的高度（精确到0.1m）。

图1

分析：本题由于影子都在水平地面上，因此物体（树、标杆）、太阳光线和各自的影子构成的2个三角形相似，利用相似三角形的性质及已知数据直接可求得树AB的高度。

解：由题意得：∠CDF=∠ABE=90°，∠CFD=∠AEB

CFD∽AEB

=

即 =

AB= ≈4.6m

答：树AB高约4.6米。

总结：在太阳光线下，同一时刻，两个物体的高度和影长（水平地面上）的比例是相等的，即 = 。解题时要注意物体和各自影子的对应关系不要弄错。

二、影子一部分在水平地面上，一部分在垂直墙面上

例2.某数学课外实验小组想利用树影来测量树高AB。如图2，他们在同一时刻测得一身高为1.5m的同学影长为1.35m，因为大树靠近一幢建筑物，影子不会全在地面上，他们测得地面部分的影长BC=3.6m，墙面部分的影长CD=1.8m，求大树AB的高度。

分析：此题有两种不同的思路：（1）把垂直墙面上的影子CD转化为水平地面上的影子；（2）把垂直墙面上的影子CD转化为物体AB的部分高度。无论哪种思路都可以把问题转化为第一步的求法。

（1）解：延长AD交BC的延长线于点E，

= =

即 = =

CE= =1.62m，

BE=3.6+1.62=5.22m

AB= =5.8m

答：大树AB高5.8米。

（2）解：过点D作DEAB于点E。

由题意可得：四边形CDEB为矩形。

BE=CD=1.8m，DE=BC=3.6m。

=

AE= ×3.6=4m

AB=AE+BE=4+1.8=5.8m

答：大树AB高5.8米。

总结：当影子有两部分时，有两种方法可以来求物体高度。（1）把照在垂直墙面上的影子看成是影子物体，用第一步的方法求出这个影子物体在水平地面上的影子长度。（2）把照在垂直墙面上的影子转化为原物体高度的一部分，而原物体高度的另一部分利用第一步的方法来求。

三、影子一部分在水平地面上，一部分在斜坡上

例3.如图3，小明想测量电线杆AB的高度，他发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上。已知CD=4m，BC=10m，CD与地面成30°角，且此时1m长的竹竿影长为2m，求电线杆AB的高度。

分析：本题利用斜坡上的影子直接求物体高度有难度，但是如果把斜坡上的影子转化为垂直墙面的影子和水平地面的影子，那么问题就可以转化为第一步和第二步的情形了。

解：延长AD、BC交于点F,过点D作DEBF于点E，

由题意得：DE=CD•Sin30°=2m，

CE=CD•Cos30°=2 m，

= = ，

EF=2DE=4m，

BF=BC+CE+EF=14+2 m，

AB= BF=7+ m

答：电线杆AB高7+ 米。

总结：当影子落在斜坡上时，关键是把影子分解为垂直墙面上的影子物体和水平地面的影子，把问题转化为第一步和第二步的情形来求。本题在转化影子位置的时候，学生容易把CDF当做等腰三角形来解，讲解时须归纳“影子问题”的根本就是把影子按不同的位置分成不同的三类，然后进行三步曲之间的转化。

参考文献：

［1］义务教育课程标准实验教科书［M］.浙江：浙江教育出版社，2004年.

［2］苗学军.中考中的“影子问题”.初中数学教与学［J］.2005年第10期第30-32页.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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