把握起点 层层递进 实现螺旋式上升

【摘要】现在的苏教版教材注重呈现知识的生活面貌，更贴近生活，更具有实践价值，留给学生“悟”的成分很多，点到为止，不进行归纳和总结，而是把反思的空间留给学生，数量关系也是如此，纵...

摘 要：数量关系是解决问题的关键因素之一，苏教版教材注重呈现知识的生活面貌，数量关系穿插于各部分教学内容之中，“悟”的成分很多，没有概括。课程改革数年，不少教师经历了教与不教，如何教等一系列问题，导致了学生对数量关系模糊不清，也影响了学生解决问题能力的提高。

关键词：数量关系；重新认识；起点；分段教学

现行的苏教版教材已施行数年，数量关系教与不教，如何教的问题一直是大家热议的话题。

一、数量关系教学的现状梳理

（一）课改前期：教与不教，众说纷纭

现在的苏教版教材注重呈现知识的生活面貌，更贴近生活，更具有实践价值，留给学生“悟”的成分很多，点到为止，不进行归纳和总结，而是把反思的空间留给学生，数量关系也是如此，纵观全套教材，没有概括一个数量关系，一部分教师认为数量关系对于提高学生的解题能力帮助很大，以前的教材很系统，学生解题正确率较高，不应舍弃。也有一部分老师认为新教材没有归纳数量关系肯定有新的想法，教材没有明确的要求，教师用书也没有明确的说明，数量关系不在教学的范畴之内，不应该加重学生的负担，不该教。

随着时间的推移，各种各样的研讨活动、教学观摩都渐渐地避开了数量关系这一敏感的话题，数量关系也慢慢地从我们的视线中消失，一时间仿佛再谈数量关系就是教学改革的倒退，课堂上几乎再也找不到数量关系的身影，很多老师和学生已经逐渐习惯于用其他的方式去分析题意，很多学生甚至不知道数量关系为何物，这也带来了新的问题。

案例：六年级上册第66页的一道练习：张师傅每小时织■米长的毯子，织■米长的毯子需要几小时？

笔者任教的班级有52名学生，只有20名左右的学生解题正确，一共出现了三种算式：■×■，■÷■，■÷■。

师：你是怎么想的？

生1：求■米的■是多少？用■×■。

生2：求小时数应该是除法，就用■÷■。

师：你是如何确定谁除以谁的呢？

（生无语）

师：我们改一下数字：张师傅每小时织2米长的毯子，织8米长的毯子需要几小时？这里谁是织布的总米数，也就是工作总量？

生1：8米，因为8米比2米大很多。

生2：8米是工作总量，因为8米时我们一共要织的总米数。

师：怎样列式？

生：8÷2

……

这题的正确率非常低，即使是做对的学生，不少也是蒙的，真正理解掌握的只有10人左右，如果运用“工作时间=工作总量÷工作效率”这一数量关系，问题很容易解决，如果将题目改一下数字：“张师傅每小时织2米长的毯子，织8米长的毯子需要几小时？”学生则可迎刃而解，正确率非常高，数量关系的缺失带来的影响是显而易见的。

1.过于依赖生活经验，忽视数学经验

数学经验来源于生活和对数学的感悟和反思，数学经验是对生活经验的提炼和升华，仅仅满足于运用生活经验解决问题，时间长了，学生的思维就会出现局限性，始终在低水平徘徊。上面的例子中将题目的数字改一下后，学生的正确率立即大幅上升，并不是学生的思维水平获得大幅提升，仅仅是因为改过之后更贴近学生的生活而已，生活中涉及分数除法的例子毕竟很少。

2.从情境中抽象出数量的能力弱化

两道题目的差异仅仅在于数字大小的差异，这却成了影响学生解题正确率的关键因素。可见，学生抓住的并不是问题的根，而仅仅是叶。在整数的范围内，学生比较容易辨析数量，思维也比较清晰，为什么换成了分数就糊涂了呢？原因并不仅仅在学生，而是我们的训练没有及时跟进，将视点过多地集中在学生解题的正确率上了。如果在整数除法教学之中就能及时地变化一些问题数字的大小，让学生体会到虽然数字变了，但解题思路没有变，原因在于问题的数量关系没有变化，再过渡到小数、分数，就不会出现这样的尴尬了。

3.重视解决问题的策略，淡化数量关系

苏教版教材以全新的模式将各种类型的应用题分散到各个章节之中，还原生活本来的真实面貌，从而使得数量关系显得不太明显或杂乱无章，因此突出了数据整理、加工的过程，所以苏教版教材渗透了整理列表、画图、枚举、还原、假设等解决问题的策略。经过整理，问题由复杂变得简单，由抽象变得具体。但是

一部分教师只关注解决问题策略的运用与教学，重策略的引导，轻数量关系的分析。以列表为例，有些老师错误地认为学生只要学会列表就完成教学目标了，对整理之后的数量关系缺少分析，学生也就感受不到列表策略的好处，对于列表的积极性也不太高。列表之后，学生对数据缺乏分析能力，看到对应的总价和数量还不能立即想到可以求单价，导致了相当一部分学生会整理数据，但不会分析数据，也不会利用数据。

（二）专家视点：数量关系教学不可忽视

1.反思

面对教学中呈现的问题，不少专家、老师开始重新审视数量关系的作用。

国家课程标准核心组成员孔凡哲教授认为： 数量关系是数学研究的核心内容之一。

北京师范大学的周玉仁教授认为：小学生在解决问题的过程中，实质上是完成了两次认识上的转化，第一个转化是筛选出有用的信息从而抽象出数学问题；第二个转化是根据已经抽象出的数学问题，全面分析其中的数量关系，从而探索出解决问题的方法。

朱向明在《例谈基于“数学活动经验”的数量关系教学》一文中提到：解决实际问题的核心是分析数量关系，分析数量关系的经验是解决实际问题必备的数学活动经验之一。

诸菁如老师在《“数量关系”仅靠感悟行吗？》一文中提到：数量关系光靠学生自己感悟是不可行的，其结果是学生在糊里糊涂中解决基本问题，最终将导致在解决较复杂的实际问题时，学生的困难必定会越来越多。

2.对比

与传统教材重视数量关系相比，学生分析数量关系的能力下降严重，学生对数量关系缺乏必要的洞察能力，面对数量关系反应迟缓。如求总路程，不能立即想到“总路程=速度×时间”。对沿袭已久教学方式的不假思索就全盘否定的做法，是不符合教学实践的，而且对课改的深入发展也是有害无益的。由于解决实际问题本身所具有的抽象性和复杂性，学生的学习，就不能仅仅停留在感知、感悟的层面上，其学习的内容还必须得到抽象和提升。

与有归纳的知识点相比，一些图形的面积或体积计算公式也是要经过一系列的猜想、实践、讨论得出相关的计算公式。如圆柱的体积，将圆柱沿着底面直径和高平均切成若干等份，再拼成一个近似的长方体，体积不变，长方体的底面积=圆柱的底面积，长方体的高=圆柱的高，得出V=sh，推导的过程是学生发现探索的过程，但是在运用时不需要每次都去回忆这一过程，以后计算圆柱体积时，学生的第一反应是找底面积和高，方便快捷、思路清晰、正确率高。

二、数量关系教学的实施策略

（一）抓住数量关系认识的起点

低年级呈现的知识比较简单，学生的正确率很高，多数情况下，我们应提高教学效率，追求课堂教学的有效性，不必多讲，但有些时候却未必，但有些知识是下一阶段知识的起点，学生全对并不能代表学生对知识内涵和外延的全掌握，不能因为学生正确率高而轻轻带过。

二年级上册《认识乘法》的课后练习一有这样一题（图1）：

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图1

这题要求学生整理乘法问题情境里的信息，并解决实际问题，此时的学生学习了乘法后，根据自己的生活经验，很容易找到是求2个3，用乘法，正常情况下，学生几乎没有错误。如果老师就此打住，那就可惜了。应该把它作为数量关系认识的起点。不妨这样组织教学：教师出示题目，学生独立解答，互相交流，学生汇报讨论的结果，说一说自己是怎么想的，教师根据学生的回答适时地引导学生说一说，有几堆就有几个3，再变化一下每堆萝卜的个数或者堆数，追问：同学们，我们刚才都是用什么乘以什么呀？顺势引出“每堆萝卜的个数×堆数=萝卜的总个数”，并让学生多说一说，加深学生对这个关系的理解。当然现阶段，并不要求学生能自己独立找出数量关系，而是在教师有意识的引导下初步的感知，千万不可以让学生死记硬背，磨灭学生的学习兴趣。

提高课堂效率固然重要，但与其走马观花、囫囵吞枣，表面的高效率，实则的浮夸，不如深入研究教材，可以透过一个个细小的题型，会发现还有另一片天地大有可为。

（二）理解训练，充分感知数量关系

在现行的新教材中，对应用题的呈现方式、编排思路等也做了较大的改动，应用题不再作为一个独立的分支进行教学，而是与其他知识点融合在一起。例如与计算结合，将应用题纳入”问题解决”的领域，这就为数量关系的长期的、系统的训练提供了足够的时间。苏教版小学数学二年级上册23页出现了这样一个生活场景（图2）：

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图2

经过类似图1的一系列经验积累，学生逐渐可以从生活场景中找到一些数量关系了，但是对于图2的教学还是不宜出现单价、总价、数量这些专业术语，对于年二级上学期的学生而言显得比较抽象，还是应以每包饼干的钱数等描述性语言来表达，只不过应从以老师引导为主逐步过渡到以学生自我发现、自我表述为主，到了三年级要逐步训练学生自己找这样的关系句，直到学生能够比较熟练地运用生活的语言描述数量关系，磨刀不误砍柴工，有了这些原始的大量积累，才能让以后的归纳水到渠成。

（三）适时提炼，高度抽象数量关系

四年级的《解决问题的策略》隐藏了大量的数量关系，但还是没有概括。教材侧重的是学生对数据的整理能力——列表法（图3）：

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图3

在教学列表整理的同时，此时可以逐步告知学生单价、总价、数量的意义，学生也可以逐渐接受，从而使得表述的语言更简练、准确，也逐步建立学生的符号意识。小学生的思维正处在以具体形象思维为主要形式向以抽象逻辑思维为主要形式逐步过渡的阶段，适时地提炼，学生不会感到吃力，而且可以让学生体会到数学语言的精练、便捷、应用的范围更广，更有利于以后的运用。

（四）逆向运用，变通拓展数量关系

仅仅学会了基本的数量关系是不够的，只有不断变化问题情境，才能加深学生对数量关系的理解和应用。可以设计这样的练习：

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第二题和第三题是基本数量关系的逆向运用，根据一道数量关系变化出另外两个数量关系，数量=总价÷单价，单价=总价÷数量，这样举一反三，学生的知识体系得以逐渐完整地建立。

（五）见缝插针，巧用计算教学的缝隙

苏教版教材采用“螺旋式上升”的编排方式，各部分内容往往互相穿插，仔细翻阅教材，可以发现很多数量关系穿插在计算教学之中。如三年级乘法计算练习中有这样一题（图4）：

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图4

计算教学知识点相对比较单一，每一步部分计算教学的练习中都穿插了很多这样的解决问题，穿插一些数量关系的教学不但可以丰富学习内容，还可以调整学生的学习兴趣，一举两得。

（六）借助策略，分析复杂数量关系

有些问题情境比较复杂，可能是由多个问题组合而成，直接分析数量关系比较困难，这时可以借助列表、画图、枚举、还原、假设等解决问题的策略，对条件和问题进行整理，整理之后复杂的数量关系会变得比较直观具体，更方便分析。以列表为例，最好的做法是和学生一起经历数据整理的过程，培养学生从复杂的情境中提炼数学问题的能力，感受列表策略的便利，再进行数量关系的分析，让学生体会到此时分析数量关系是多么的轻松，重视解决问题的策略不但不会淡化数量关系，反而成为分析数量关系的有效辅助手段。

数学教学应努力改善学生的学习方式，注意循序渐进地组织探究活动。数量关系，以分散的形式藏于例题和习题之中，教师需要从全套教材的高度去把握每一部分的教学内容，认真分析教材每一个细微之处，通过有序、有效的数学活动的积累，在活动中发展数量关系，层层递进，螺旋式上升，这样数量关系的归纳、提炼就会水到渠成，有效地促进学生解决问题能力的提高。

[参 考 文 献]

[1]周玉仁.“解决问题”教学的若干问题的思考[J].小学数学教育，2009（3）.

[2]孔凡哲.基础教育新课程中的“螺旋式上升”课程设计和教材编排问题探究[J].教育研究，2007（5）.

[3]史宁中，孔凡哲.对话小学数学中的数量关系、图形关系与统计关系[J].新世纪小学数学教师，2008（1）.

[4]朱向明.例谈基于“数学活动经验”的数量关系教学[J].教学与管理，2011（1）.

[5]张苾菁.浅谈“解决问题”中对数量关系教学的再思考[J].江苏教育研究，2009（6）.

[6]诸菁如.“数量关系”仅靠感悟行吗？[J].中小学数学，2009，（7、8）.