应用性试题的类型及解题思路

《数学课程标准》中指出：“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。”为落实这一理念，近年来数学中考加强了对应用意识及解决实际问题能力的考查，其分量有越来越重的趋势。应用问题有多种类型，本文仅以近年各省的中考题为例，着重展示以下六种应用性试题，并对其解题思路加以分析。

一、方程（组）应用题

这类问题是研究现实世界数量关系的最基本的问题，它可帮助人们从数量关系的角度更准确、更清晰地认识、描述和把握现实世界。诸如行程、增长率、储蓄、利息、税率、工程施工及劳动力分配等问题，都可以通过列方程（组）来解决。

例1（山东省济南市）某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅。经过测试，同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐。

（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少学生就餐；

（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由。

解：（1）设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供y名学生就餐，根据题意，得，x+2y=16802x+y=2280解这个方程组，得x=960y=360。

所以1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐。

（2）因为960×5+360×2=5520＜5300，所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐。

二、不等式（组）应用题

生活中的不等式关系是普遍存在的，许多显示问题很难确定具体的数值，但可以求出或确定某个量的变化范围，从而对所研究的问题有一个比较清楚的认识。市场营销、生产决策和社会生活中有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题常用不等式（组）应用题来解决。

例2（湖北省十堰市课改实验区）市“康智”牛奶乳业有限公司经过市场调研，决定从明年起对甲、乙两种产品实行“限产压库”，要求这两种产品全年新增产量20件，这20件的总产值p（万元）满足：110＜p＜120，已知有关数据如下表所示，那么该公司明年应怎样安排新增产品的产量？

解：设该公司安排生产新增甲产品x件，那么生产新增乙产品（20-x）件，由题意，得，110＜4.5x+7.5（20-x）＜120，解这个不等式，得10＜x＜ ，依题意，得x=11，12，13。

当x=11时，20-11=9；当x=12时，20-12=8；当x=13时，20-13=7。

所以该公司明年可安排生产新增甲产品11件，乙产品9件；或生产新增甲产品12件，乙产品8件；或生产新增甲产品13件，乙产品7件。

三、函数应用题

函数反映了事物间的广泛联系，提示了现实显示众多的数量关系变化规律，日常生活中的许多问题，诸如造价成本最低、生产利润最大、风险决策、股市期货、开源节流、扭亏增盈、方案最优化等问题的研究，都可以通过建立函数关系来解决。

例3（河北省课改实验区）甲、乙两个工程分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：

（1）乙对开挖到30m时，用了h。开挖6h时甲队比乙队多挖了m；

（2）请你求出：

①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；

②乙队在2≤x≤6时段内，y与x之间的函数关系式；

（3）当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？

解：（1）2，10；

（2）设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式y=k1x，由图可知，函数图象过点（6，60），6k1=60，解得k1=10,y=10x。

设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=k2x+b，由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50），2k2+b=306k2+b=50。解得k2=5b=20。y=5x+20。

（3）由题意，得10x=5x+20,解得x=4（h）。

当x为4h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等。

四、几何应用题

几何应用题图文并茂，贴近人类生活和实际需要，如零件加工、残轮修复、工程选点定位、裁剪方案、美化设计、道路拱桥计算等实际问题中都涉及一定的图形知识，在解决这些问题时，我们通常要抓住图形的几何性质，将实际问题转化为几何问题来进行解决。

例4（上海市）本市新建的滴水湖是圆形人工湖。为则量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并顺利得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。

解：设圆心为点O，连结OB、OA，OA交线段BC于点D，因为AB=AC，所以OABC，且BD=DC= BC=120。由题意，DA=5，利用勾股定理易求出OB=1442.5。

所以滴水湖的半径为1442.5。

五、统计应用题

统计的内容具有非常丰富的实际背景，在现实生活中有着广泛的应用，要求学生学会如何收集数据和分析数据，深刻理解用样本估计整体的基本统计思想，掌握描述数据集中趋势和离散程度的两类基本统计量，并能够灵活计算。

例5（湖北省咸宁市）为了迎接全市体育中考，某中学对全校初三男生进行了立定跳远项目测试，并从参加测试的500名男生中随机抽取了部分男生的测试成绩（单位：米，精确到0.01米）作为样本进行分析，绘制了如图所示的频率分布直方图（每组含最低值，不含最高值）。已知图中从左到右每个小长方形的高的比依次为2：4：6：5：3，其中1.80~2.00这一小组的频数为8，请根据有关信息解答下列问题：

（1）填空：这次调查的样本容量为，2.40~2.60这一小组的频率为；

（2）请指出样本成绩的中位数落在哪一小组内，并说明理由；

（3）样本男生立定跳远的人均成绩不低于多少米？

（4）请估计该校初三男生立定跳远成绩在2.00米以上（包括2.00米）的约有多少人？

解：（1）40，0.15；

所以该校初三男生立定跳远成绩在2.00米以上的约有350人。

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