正视小学数学活动中的“伪经验”

《义务教育数学课程标准（2011年版）》把数学课程目标的“双基”拓展成“四基”，除数学基础知识和基本技能外，增加基本数学思想和基本数学活动经验[1]。关于数学基本活动经验的定义，目前国内学者并没有形成共识：数学基本活动经验是一种认识，从感性向理性飞跃时的认识[2]；是一种过程性体验，是学生学习数学的历程[3]；既是一种主观知识，也是学生学习过程，是整合体[4]。史宁中教授则进一步指出：数学基本活动经验提出的根本目的在于促使学生形成在观察基础上，从最简单问题入手，逐步猜想和发现，不断校验和修正，感悟问题的核心和问题之间的联系，并学会演绎证明的思维模式，进而建立一定的数学直观，能够直觉到数学关系[5]。

实践中，许多教师认为，学生只要参与了数学活动，就会自然而然地形成数学经验，只要经历了学习过程，就一定会提升数学基本活动经验的品质。于是，教师只注重引导学生通过数学活动获取浅显感性经验，忽视学生亲身经历把感性经验内化为数学理性经验的过程，割裂尝试学习与主动接受的相互作用，忽略了学科知识与儿童生活的联结，导致学生积累了似是而非的“伪经验”，形成了混乱的数学活动经验。必须指出，“伪经验”呈现出真实面貌，具有欺骗性，需一一甄别并加以应对。

一、 凝滞化操作经验

小学生对数学知识的习得，特别是抽象数学概念的建立，总是按照“动作认知（操作水平）―图像认知（表象水平）―符号认知（分析水平）循序渐进地发展的”[6]。如果仅仅是一些移移、拼拼、量量这样浅显的动手操作活动，而不在活动后将操作经验提升为理性经验，这就是凝滞化的表现：缺少学生思维的含量，忽略将操作经验内化为数学经验的过程，导致抽象的思维活动出现断层，获得不完整的数学基本活动经验。其实，通过不同形式的操作活动，学生获得丰富的感性经验，并在观察、猜想、交流、思考的基础上，亲身经历将操作经验提升为理性经验的过程，是富有生长力的过程，是数学基本活动经验不断发展完善的过程。

案例一：苏教版六年级数学下册《用转化的策略解决问题》。

1.同学们，你们能比较出这两个图形面积的大小吗？（学生束手无策）

2.把两个图形转化成长方形，再比一比面积的大小。（同学们动手尝试操作）

3.请把自己的方法和别的同学交流。

“把第一个图形上面的半圆形平移到下面，得到了一个长方形。”

“把第二个图形两边的半圆形旋转到上面，得到了一个长方形。”

“两个长方形的面积相等，原来两个图形的面积也相等。”

……

4.教师总结：我们通过转化的方法发现两个图形的面积相等。

案例中，学生将原有图形转化成长方形的操作活动，不是源于在解决问题过程中产生的困惑，也没有在活动后引导学生进行充分反思，体验方法的应用过程。这样的操作活动，仅仅立足于得到某一具体结果，是凝滞化操作经验。需要指出的是，转化的策略对于学生而言，并不完全陌生，在过去解决问题的经历中常有应用，只是这种体验还处于无意识的状态。在学习应用转化时，必须要对应用过程有一个清晰的再认识过程，从凝滞化操作经验走向具有生长活力的操作经验。

改进：

同学们，你们能比较出这两个图形面积的大小吗？请自己尝试解决。（图略）

（数方格、切割分别计算面积、尝试自主切割拼接。）

学生独立思考，展示操作过程。

教师提示：先把两个图形转化成长方形，再比一比面积的大小。

学生自主尝试操作，展示操作过程，比较面积的大小。（方法同上）

反思：采用什么方法比较两个图形面积大小？

思考：除了刚才的方法，还可以怎么办？

提升：通过这样的操作活动，你有什么样的收获？

二、 灌输性思维经验

杜威在《哲学的改造》中指出，不相关的做和不相关的受都不能成为经验。学生经历了数学活动，不代表获得了数学基本活动经验。只有学生积极主动地参与数学活动，经历探索新知的过程，有意识地接受并应用新知解决问题，才是真正意义上的数学基本活动经验。思维经验是数学基本活动经验的核心内涵，然而，儿童“被思维”的倾向使教师的教学行为取代了学生探索学习，阻断了自主尝试与主动接受之间的相互作用，将思维经验强制灌输给学生。灌输性思维经验，只会让学生依葫芦画瓢，停留在数学活动的表面，无法触及数学基本活动经验的本质。

生：不方便。

师：想想有没有什么好的办法？（学生议论纷纷，没有统一的意见。）

教师：出示图2。

可以把这个正方形看作单位“1”，涂色部分是多少呢？空白部分呢？

课后，随机抽出学生检测。

教师的本意是利用直观图的方式，帮助学生进一步理解问题的本质，以便更好地解决问题。但是，这样的直观图不是学生主动提出，而是教师为了达到教学目标，运用特定领域的知识和认知策略去实现目标的一种教学活动。这样解决问题的过程，侧重于引导学生得出问题结果，满足于学生知识的获得，而对于问题的提出和分析思考却不见踪影，是典型的灌输性思维经验。

改进：

可以用上述直观图来进行表示吗？

比较两道算式的异同，你有什么样的发现？

三、 孤立的学科经验

新的数学课程标准强调，数学学习要从学生已有的认识发展水平开始，从直观形象的问题情境入手，让数学知识蕴含在学生熟悉的生活情景中，并与学生已有的数学经验相关联，特别是与学生生活中积累的未经训练或不是严格的数学知识经验相关联。如果只是一味地从数学学科出发，脱离学生的世界与生活，把相互没有联系的学科经验孤立地教给学生，试图让学生获得更多的学科知识经验的行为，是不可能得到真正数学活动经验的。

案例三：苏教版五年级下册《认识负数》，一位教师设计了如下过程：

1.借助温度计，认识零上4摄氏度和零下4摄氏度。

2.你们打算用什么符号来来区分零上4摄氏度和零下4摄氏度呢？

3.学生自主学习，记录自己不同的方法；（诸如“零上4°和零下4°”、“正4°和负4°”、“4°和4°”）

知道数学上是如何表示的吗？我们一起来看课本。

……

学生观察温度计后，调动原有经验形成了丰富多彩的答案，这时的学生已经通过自己思考，敏锐地观察到正数和负数的真正意义所在，即两个意义相反的量该如何表示。学生正在用自己的方法展示思维过程，作出解决问题的种种假设。由于年龄特点和认知能力的限制，学生的表示方法可能比较粗浅、幼稚，甚至不是那么严谨，但这种经验是有意义和价值的，它和学生的生活有着千丝万缕的联系。这时候，需要把学生的粗浅生活经验进一步提升，以期实现生活经验与学科经验的融合。

改进：

1.借助温度计，认识零上4摄氏度和零下4摄氏度。

2.你们打算用什么符号来来区分零上4摄氏度和零下4摄氏度呢？

3.学生自主学习，记录自己不同的方法。（诸如“零上4°和零下4°”、“正4°和负4°”、“4°和4°”）

4.这些记录方法有什么不同点和相同点呢？

5.根据学习数学的经验，选择哪一种表示方法适合学科特点？

6.简介我国古代数学家记录方法。

7.简介法国数学家吉拉尔首次用“+”、 “-”表示正、负数的方法。

重视积累基本数学活动经验是数学教学的重要目标，是联系知识、技能和数学思想的纽带。积累基本数学活动经验是一种指导思想，一个教学目标，其核心价值是知识与经历。关键是学生是否积极主动地参与进来，是否认真地进行了思考，是否真正体会到了经验的应用过程，只有对数学活动精耕细作，去伪存真，才能真正实现帮助学生积累基本数学活动经验的目标。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部制定.全日制义务教育数学课程标准（2011版）.北京：北京师范大学出版社，2011.

[2] 马复.论数学活动经验[J].数学教育学报，1996（4）.

[3] 孔凡哲.基本活动经验的含义、成分与课程教学价值[J].课程・教材・教法，2009（3）.

[4] 仲秀英.学生数学活动经验的内涵探究[J].课程・教材・教法，2010（10）.

[5] 郭玉峰，史宁中.数学基本活动经验：提出、理解与实践[J].课程与教学，2012（4）.

[6] 陈婧亭.如何将操作经验内化为数学经验[J].教育实践与研究，2012（1）.