最值法解决恒成立问题

恒成立问题是高中数学不等式部分常见的一类题目，因其涉及知识面广，思想方法的综合性强，成为数学学习的一个难点，同时也是高考中的考查热点。本文重点介绍利用函数的最值思想解决恒成立问题。

在恒成立问题中至少会有两个字母，并且要把已知范围的字母看作自变量，另一个字母则为参数，并根据自变量确定不等式的类型，根据其对应的函数的最值思想，求解参数的范围。

一、一次函数恒成立问题

例1.不等式x2+（a-1）x+1-2a>0，对任意a∈[-1，1]恒成立，求x的取值范围。

分析：a为已知范围的字母，看作自变量，将原式整理为关于a的一次式形式f（a）=（x-2）a+x2-x+1，x=2时，f（a）为常数函数；x≠2时，f（a）为关于a的一次函数，要使f（a）>0恒成立，只要其最小值大于0，即两端点函数值大于0。

解：原式可化为：（x-2）a+x2-x+1>0，令f（a）=（x-2）a+x2-x+1

①x=2时，f（a）=3>0成立；

②x≠2时，由f（-1）>0f（1）>0得x2-2x+3>0x2-1>0得

解得x1且x≠2。

综上所述，x的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞）

一般地，对于一次函f（x）=Ax+B（A≠0），若f（x）>0，对于任意x∈[m，n]上恒成立，只要f（m）>0f（n）>0，解出参数范围即可。

二、二次函数在R上的恒成立问题

例2.不等式x2+（a-1）x+1-2a>0，对任意x∈R恒成立，求a的取值范围。

分析：根据二次函数在R上的图象，其最小值在对称轴处取到，因此只要图象与x轴没有交点即可。

解：令f（x）=x2+（a-1）x+1-2a，则要使f（x）>0在x∈R时恒成立，只要：

=（a-1）2-4（1-2a）

解得a的取值范围是（-3-2■，-3+2■）

一般地，对于二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），

①对任意x∈R，f（x）>0恒成立，只要满足a>0>0

②对任意x∈R，f（x）≤0恒成立，只要满足a

三、二次函数在区间上的恒成立问题

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例3.设f（x）=x2-2mx+2，对任意x∈[-1，+∞）时有f（x）≥m有恒成立，求m的取值范围。

分析：将原式重新整理为关于x的二次函数g（x）=f（x）-m，根据g（x）在[-1，+∞]时最小值大于0求出参数的取值范围。

解：令g（x）=f（x）-m，则x∈[-1，+∞]时，g（x）=x2-2mx+2-m≥0恒成立。

因为函数g（x）的对称轴为x=m，所以

①m

只要g（-1）=3+m≥0，解得m≥-3

此时的范围是：[-3，-1）

②m≥-1时

只要g（m）=-m2+2-m≥0，解得-2≤m≤1

此时m的范围是[-1，1]

综上所述，m的取值范围是[-3，1]

四、一元高次函数的恒成立问题

例4.已知函数f（x）=7x2-28x-a，g（x）=2x3+4x2-40x，对任意时x∈[-3，3]时，f（x）

分析：不等式f（x）

解：令h（x）=f（x）-g（x）=-2x3+3x2+12x-a，则x∈[-3，3]时，h（x）

由h′（x）=-6x2+6x+12=0得x=-1或x=2，所以

x∈[-3，-1）时，h′（x）

x∈（-1，2）时，h′（x）>0，h（x）单调增

x∈（2，3]时，h′（x）

h（-3）=45-a>h（2）=20-1

h（x）max=h（-3）=45-a

x∈[-3，3]时，h（x）

a>45

即a的取值范围是（45，+∞）

（责编 高伟）