时间：2022-05-11 01:08:32
圆锥曲线是历年高考的一个重点和热点，纵观近几年的双曲线部分的高考试题，虽然试题模式不一，变化多端，但许多试题在教材中都能找到它们的影子， 下面我们通过课本探究题及其变式进行剖析，来探究高考试题的踪迹。
例1.（人教A版（1-1）2.2.1 探究）点A，B的坐标分别是（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为■，试求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状，与2.1例3比较，你有什么发现？
分析：设点M的坐标为（x，y），则直线AM，BM的斜率分别为
kAM=■（x≠-5），kBM=■（x≠-5）
由已知有■·■=■（x≠±5）
化简，得点M的轨迹议程为■ -■=1（x≠±5）
故点M的轨迹为除去A，B两点的双曲线。
与2.1例3比较可知，若直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为-■，则点M的轨迹为除去A，B两点的椭圆；若直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为■，则点M的轨迹为除去A，B两点的双曲线。
变式1：将A，B的坐标分别改为（a，0）， （-a，0），（a>0，0），将■改为■（a2≠b2），求点M的轨迹。
变式2：将A，B的坐标分别改为（a，0），（-a，0），（a>0，0），将■改为-■（a2≠b2），求点M的轨迹。
变式3：（2011年高考湖北卷文21）平面内与两定点A1（-a，0）、A2（a，0）（a>0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线。
求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系。
分析：设动点为M，其坐标为（x，y），当x≠±a时，由已知可得
kAM■·kAM■=■·■=■=m即mx2-y2=ma2（x≠±a）
因为A1（-a，0）、A2（a，0）的坐标满足mx2-y2=ma2，所以曲线C的方程为mx2-y2=ma2
当m
当m=-1时，C是圆心中原点的圆；
当-1
当m>0时 ，C是焦点在 x轴上的双曲线。
例2.（人教A版（1-1）习题2.3A组第3题）：已知抛物线y2=2px（p>0）上一点M与焦点F的距离MF=2p，求点M的坐标。
点拨：利用抛物线的定义建立抛物线上的点、焦点、准线三者之间的联系，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离。
解：设点M的坐标为（x0，y0），
则由抛物线的定义可知MF=x0+■=2p，解得：x0=■
所以y■■=2px■=3p2（p>0）解得y=±■p
故点P的坐标为（■，±■p）
评注：对于与抛物线的焦点有关的“弦”问题，能用好抛物线的定义，采用“焦点转准线”的策略，是此类问题求解的常用方法。
变式1：已知抛物线y2=2px（p>0）上一点M与焦点的距离MF=2p，求点M到y轴的距离。
解析：该题本质上就是求点M的横坐标的绝对值，借助例题的求解思路，设M（x0，y0），由抛物线的定义可知MF=x0+■=2p，解得：x0=■，即点M到y轴的距离为■。
变式2：已知抛物线y2=x上一点P到y轴的距离■，则点P到抛物线焦点的距离是（ ）
A.■ B.■ C.3 D.4
点拨：此题实际上就是调换了变式1的条件和问题，借助变式1的解题思路，易知选C。
变式3：（2011年高考辽宁卷）已知F是抛物线的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AF+BF=3，则线段AB的中点到y轴的距离为 （ ）
A.■ B.1 C.■ D.■
解析：该高考题可谓是对教材习题、变式1的“深化”考查，借助教材习题的解题思路。
由y2=x，可知■=■
又AF+BF=3，
所以点A到y轴的距离与点B到y轴的距离之和为
AF+BF-2×■=3-■=■
再利用梯形中位数的知识可知线段AB的中点到y轴的距离为■×■=■。故选C。
变式小语：（1）抛物线是由到定点（焦点）的距离等于到定直线（准线）的距离相等的点构成的，利用抛物线的定义解题是基本方法，一定要灵活掌握。（2）变式3是2011年的高考试题，充分体现了高考重视基础，回归教材的原则，因此同学们在学习过程中一定要做个有心人，加强对教材核心概念的理解。
（责编 高伟）