“n次”碰撞问题分类解析

在动量守恒定律的应用中，“n次”碰撞问题常常给考生作答带来一定的困难，由于考生对题目类型把握不准，解题经验不足，致使一些考生看到“n次”就心生畏惧。现将动量守恒定律的应用中，“n次”碰撞的问题分为四类，并进行解析，希望对考生有所启迪。

一、明确初末状态

例1 两名质量同为M的滑冰人甲和乙都静止在光滑的水平冰面上，甲抱有一质量为m的篮球。现在，甲向乙抛出一个篮球，乙接球后再抛回。如此反复传递n次后，试讨论甲和乙最后的速率关系怎样？

解析：1.甲、乙、球三者可以视为一个系统，由于水平面光滑，所以该系统动量守恒；

2.初态：甲、乙、球三者构成系统初动量为0；

3.末态：最终谁接到篮球，篮球就与该人拥有相同的速度，但由于是甲先出手，所以最后接到篮球的人由传球次数n来决定。

可见，谁最后接球，谁的速度小。

点评：此类问题的解题要领在于：结合题目特点，不要过多交缠于复杂传递过程，在可以利用系统动量守恒定律求解的前提下，只要明确初末系统的状态，问题就可以迎刃而解。与此类似的题目还有很多，但解题方法类似，难度不大，应注重把握题型要点。

二、理清运动和碰撞过程

例2 列车进入编组站后要重新编组，会出现列车挂接问题，将许多节车厢逐一组合起来。一列火车共有n节车厢，各车厢之间的间隙相等，间隙长度的总和为S。第一节车厢以速度V1向第二节车厢运动，碰撞后连接在一起以共同的速度向第三节车厢运动，碰撞后连接在一起以共同的速度向第四节车厢运动……直到n节车厢全部挂好，则整个挂接过程所经历的时间为多少？轨道对车厢的阻力不计。

分析：略

点评：此类问题在n次碰撞类型中也是极为常见的题型，题目所涉及的问题并非只关于初末状态，与例1有明显差别，突破的关键在于：在认真审题思考的前提下，要准确分析运动和碰撞过程，综合利用运动学公式和动量守恒知识进行解答。

三、利用归纳法演绎总结

例3 如下图，AOB是光滑的水平固定轨道，BC是半径为R的光滑1/4圆弧轨道，两轨道刚好相切，如下图所示，质量为M（M=10m）的小木块静止在O点，一质量为m的子弹以某一速度V0水平射入木块内未穿出，木块恰好滑到1/4圆弧的最高点C处，此后返回O点，若每当木块回到O点，立即有相同的子弹以相同的速度射入木块，且留在其中，则当第20颗子弹射入木块后，木块能上升多高？

解析：由于BC段M所受冲量不为0，因此M往返、20颗子弹依次射入M中的总过程系统动量并不守恒；但M每次到达O点时，每一颗子弹射入木块的过程，系统动量都是守恒的，故必须依次列出20次射入的等式进行求解：

设第1、2、3、4…颗子弹射入木块后的共同速度为V1、V2、V3、V4…取V0方向为正方向，由动量守恒定律有：

射第一颗时：mv0=（M+m）v1①

射第二颗时：mv0-（M+m）v1=（m+2m）v2②

射第三颗时：mv0-（M+2m）v2=（M+3m）v3③

射第四颗时：mv0-（M+3m）v3=（M+4m）v4④

……

由①②可知，v2=0；由③④可知，v4=0；同理，凡第偶数颗子弹射入木块后，其共同速度都为零，故第20颗子弹射入木块时，共同速度必为0。因而此时上升高度为0。

点评：对题目进行分析不难发现，题目的难点在于不能利用整个过程的动量守恒进行求解；尽管子弹每次射入木块动量都守恒，但要列式20次，题目不可能如此单一反复，20次射入必定存在一定规律，因此当列出子弹第4次射入的式子时，经过观察归纳，结果就已经显而易见了。在实际做题过程中，这种类型的题目很容易辨析，重点在于列出少量算式后，要善于通过归纳演绎得出相应的结论。

四、“n”次碰撞只是“伪装”

例4 如下图所示，滑块A的质量m=0.01kg，与水平地面间的动摩擦因数μ=0.2，用细线悬挂的小球质量均为m=0.01kg，沿x轴排列，A与第1只小球及相邻两小球间距离均为s=2m，线长分别为L1、L2、L3……Ln（图中只画出三只小球，且小球可视为质点），开始时，滑块以速度v0=10m/s沿x轴正方向运动，设滑块与小球碰撞时不损失机械能，碰撞后小球均恰能在竖直平面内完成完整的圆周运动并再次与滑块正碰，重力加速度g=10m/s2。试求：

（1）滑块能与几个小球碰撞？

（2）碰撞中第n个小球悬线长Ln的表达式。

解析：略

点评：此题目中，经过审题不难发现，滑块与每个小球发生两次完全弹性碰撞，经过两次速度互换，碰撞对滑块整体运动并没有实质性的影响，在作答题目第一问时，可认为滑块一直在进行匀减速直线运动；第二问在第一问分析的基础上，利用功能关系联立便可求解。可见，有些题目虽然涉及n次碰撞，其实“n”次碰撞只是题目的“伪装”，而经过思考和分析，题目过程清晰，并不像想象中那样难以解决。

（作者单位：贵州省安龙县第一中学）