带Markov调制的期权定价模型
时间：2022-09-04 12:35:52
在传统的Black-Scholes模型中，总是假设资产价格是一个连续随机过程，一般将此过程假设为Brown运动，而该文考虑实际市场中对资产价格可能会有细微扰动的因素， 利用连续的markov链对Brown运动模型进行调制，研究资产价格服从Markov调制模型的欧式期权定价，在新定义的Q测度下，研究完全及不完全市场下的期权定价公式.
1 引言
根据传统的Black-Scholes期权定价模型公式，金融数学和计量经济学研究领域的很多学者都以此对于股票价格波动规律进行了大量的研究.由于Black-Scholes齐全定价模型的局限性，他们而大多假设市场利率 和波动率是连续的随机过程，但是在实际情况中，除了有重大冲击外我们应该要考虑金融市场还有些细微扰动影响，在本文中对这种扰动利用markov链进行描述，即对价格模型进行markov调制.
2 模型
设概率空间 ，其中 是由 中的一些子集组成的 代数， 是风险概率测度， 表示在概率空间 上的一维标准布朗运动，
而首先令 为 上一有限状态并连续的Markov链， 可以满足如下形势的微分方程：
，
即 1
.
为其转移概率矩阵， 为一右连续并完备的 值鞅.
设市场上有一种无风险资产，令其在时刻t的价格为 . 它满足方程：
.
其中 ，有 .
还有另外一种风险资产，对风险资产的价格运用如下模型：
其中 ，
有 ， .
同时假设 是由 产生的的一 代数，而 为 产生的一 代数.
3 测度变换
在完成问题前，我们需要先利用Girsanov定理转换概率测度，这时我们定义测度 ：
3.1 对布朗运动 进行Girsanov变换
首先定义一个有关于 变换的密度过程 ，使其满足：
（1） ， ；
（2）
令
，
则可知 为一 -鞅，并 . ，其中 .
3.2 对Markov链 进行Girsanov变换
首先我们定义一个有关 变换的密度过程，设概率空间 上一 -可测，有界的随机过程 满足：
（1） ， ；
（2）
然后对于每一个 ，我们作如下定义：
首先有矩阵
.
令
，
定义一 上的矢量计数过程 ，其中对于每一个 都有， 并且 计数了Markov链 的跳跃次数，不难得出：
，为 中的零矩阵.
由参考文献[1]知如下引理：
引理3.1 令 ， .定义随机过程 ，其中：
，
令
，
其中， .
引理3.2 是一 -鞅.
由此我们可以定义新的概率测度 .记为概率测度 满足 .
这样我们可以假设测度 上的一维标准布朗运动和Markov链为：
，
则在概率空间 ，风险资产价格表示为：
令其贴现值为： ，然后令 ， .
由Ito公式可得
由参考文献[2]知
定理3.1 为Q-鞅的充要条件为 .
4 期权定价
4.1完全市场与自融资策略
一投资者要对前面假设的这无风险资产与风险资产各一同时进行投资，在 时刻，他投资的份额分别为 ，由此设他的投资策略为 ，他在 时刻 ，折现值 ，又可表示为 .
然后由Ito公式可得出：
定理4.1 为自融资交易策略的充要条件为
由以上可知 也为Q-鞅.
从而可得出自融资交易策略的财富过程为：
.
其中 为一 代数， 表示概率测度 下直到 时刻的信息 为条件的期望.
则对于未定权益（欧式） 的定价则有： .
4.2 不完全市场下期权定价
在不完全市场的情况下，设未定权益（欧式） ，其中 .由于市场不完全，则不能确定一定存在自融资交易策略 令 .则下面使用套期保值的思想来进行这种情况下的期权定价.
假定期权的出售者在时刻0以价格 出售一份期权，并采用某自融资交易策略 进行投资以套期保值，则在时刻 的时候收益为 ，其折现值为 ，假设以均方作为风险度量，即令：
由上文已知 为一Q-鞅，因此由鞅表示定理可得： ，
于是可得出
上式右边第一项仅依赖于 ，第二项仅依赖于 而与 无关.对于期权售出者而言，为了达到套期保值的最大得益，主要能够满足风险尽可能小，为使 最小，由此必须令 和 ，这样使上式右边两项最小，而第一项最小的 是
即使风险最小的任何自融资策略初值应取为 .因此，定义期权在时刻0的价格为：
，
对于 ，可用 ，类似可以得到令 达到最小的的 为：
.
由此可定义期权 在时刻 的价格为 .
由此可见，不完全市场下结论其实与完全市场是相同的.
研究标的资产服从Markov调制模型的欧式期权定价，对进行调制的连续Markov过程和brown运动分别进行等价测度转换，然后进行整合得出新的测度Q，在Q测度下，研究完全及不完全市场的期权定价公式。
（作者单位：浙江警察学院）
