《圆的参数方程》教学设计

一、教学目标设计

知识与能力：1、理解圆的参数方程 ，能熟练求出圆心在原点、半径为r的圆的参数方程；2、理解圆心不在原点的圆的参数方程 ，能根据圆的圆心坐标和半径熟练的求出圆的参数方程；3、了解参数方程的概念；4、能进行圆的普通方程与参数方程互化，并能用之解题；过程与方法：在学习中探索出圆的参数方程并能对其进行应用；

情感态度与价值观：通过本节的学习让学生感受数、形、式间的联系；

二、教学重点：圆的参数方程的推导及圆的参数方程与普通方程的互化；

三、教学难点：对圆的参数方程 的推导及应用其解题；

四、教学方法：探索发现法 问题式教学法

五、课时安排：1课时

六、教学过程设计：

Ⅰ、知识回顾（课件展示，教师引导学生回顾知识点，学生完成以下横线空格的填写）

1、圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2，它表示的是以C(a,b)为圆心，以r为半径的圆；

2、圆的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0（其中D2+E2-4F>0），它表示的是以 为圆心，以 为半径的圆；

Ⅱ、新课

1、圆的参数方程的推导

（1）如图,设O的圆心在原点,半径是r,与x轴正半轴的交点为P0,在圆上任取一点P,若将OP0按逆时针方向旋转到OP位置所形成的角∠P0OP=θ, 求P点的坐标：

点P的横坐标x和纵坐标y都是θ的函数，即 ①

显然，对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点P(x,y)都在O上。我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程，θ是参数．

（2）圆心为O1(a,b)，半径为r的圆的参数方程是怎样的？

如图O 可以看成由O按向量 平移而得到即对于O上任意一点P1(x1,y1)，在O1上必有一点P（x,y），使 ，又因为 ， ,所以(x1,y1)=(x-a,y-b)即是

从而 ②，代入②式可以得到圆心为O1（a,b），半径为r的圆的参数方程是 （θ为参数）

2、参数方程的概念

在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数， ③并且对于t的每一个允许值，方程组③所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．

3、参数方程和普通方程的互化

相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标 、 关系的方程，叫做曲线的普通方程．将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。参数方程和普通方程可以互化．

4、例题解析

例1 曲线C： （θ为参数）的普通方程是： ；

例2 若直线y=x-b与曲线 有两个交点，则实数b的取值范围为 ；

解析：方法1：（代数法）由 ，由 得

方法二：（几何法）由 ，则圆心（2,0）到直线y=x-b的距离 解不等式得：

练习：若曲线 （θ为参数）与直线x++y+a=0有公共点，求a的范围；

例3 如图，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A(12,0)是x轴上的一定点，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？

解：设点M(x,y)，圆x2+y2=16的参数方程为 ，设点P(4cosθ,4sinθ)，由线段中点坐标公式得 ，即点M轨迹的参数方程为 ，点M的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆．

练习：课本P89，练习3

例4 已知实数x、y满足方程x2+y2+2y=0，（1）求x+y的最大值；（2）求 的取值范围；

解：由原方程可得：x2+(y+1)2=1，它表示圆，参数方程为

（θ为参数，0≤θ

（1）

当 时，x+y有最大值

（2） 的值可看成是过圆上任意一点(x,y)与点（2,0）的直线的斜率k，即 由圆心（0，-1）到直线kx-y-2k=0的距离d≤r得 解不等式得 即

练习：1、若x2+y2，则x+y的取值范围是 ；

2、（课本P91第11题）求函数 的最大值和最小值；

Ⅲ、小结：1．圆心为原点、半径为r的圆的参数方程 ，

（θ为参数）；2．圆心为O1（a,b），半径为r的圆的参数方程

（θ为参数）；3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性。

Ⅳ、作业：课本第9091页习题第9，10题；

补充：已知曲线C的参数方程为 （θ为参数）， P（x,y）是曲线C上任意一点， ，求t的取值范围；