数形结合命题初步研究

【摘要】数与形是数学研究的两个对象。数形结合法在解题中的应用则直接体现了这种数学思想，该法使用的主动性和熟练性，集中表现出学生的数学意识和潜质，反映了数学的简练和趣味。本文就数形结合的历史、定义进行阐述，对数形结合的原则、数形结合思想在教学中的应用以及其教育意义进行研究，得出一些重要的结论。

【关键词】数形结合；原则；应用；教学

所谓数形结合就是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系， 即分析其代数含义又揭示其几何意义。 使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来， 并充分利用这种“结合”寻找解题思路使问题得到解决。数形结合思想是研究数学问题并实现问题模型转换的一种基本思想和方法，它能沟通数与形的内在联系。该思想也是高考重点考察的数学思想之一，在各个层次、各个阶段的命题中， 都有着较充分的体现。利用数形结合法可以把复杂问题简单化、抽象问题具体化，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一。

一、数形结合的原则

在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则。以转化等价原则为例：

运用数学工具，把代数关系转化为几何问题、将几何问题转化为代数关系，我们遵循等价转化的原则。

例1.如图1，已知五边形ABCDE，M、N、P、Q分别是边AB、CD、BC、DE的中点，K、H分别是MN和PQ的中点，求证：KH平行且等于■AE。

■

证明：取平面内任一点O，则

■=■（■+■）

=■（■+■）

=■（■+■+■+■）

■=■（■+■）

=■（■+■）

=■（■+■+■+■）

所以■=■-■=■（■-■）=■■，

故KH平行且等于■AE

该题运用平面向量解决平面几何问题，可以把几何问题迅速转化为数量关系，从而计算出所要证的结论，较好的体现了数学中的数形结合的思想。

二、数形结合思想在教学中的应用

（一）以形为手段， 数为目的， 揭示形中数的本质

许多几何问题不是单纯的图形研究， 通过形的特征分析， 转化为其内在的数量特征， 揭示了由形到数的联系与规律。

以形助数的常见模式有：直线斜率型、两点间距离型、直线截距型、点线距离型、定比分点型、正余弦定理型、面积体积型。

以形助数的的具体应用：

例2，解决直线与圆的相切问题：

（1）已知圆心和切线求圆的方程；

例2.求以C（1、3）为圆心，并和直线3x-4y-6=0相切的圆的方程。

提示：由题意知，设圆的方程为（x-1）2+（y-3）2=r2，以C（1、3）为圆心的圆与直线3x-4y-6=0相切，则圆心到直线的距离就是该圆的半径r。

（2）已知圆的方程和切点求切线的方程；

例3.求过圆O：x2+y2=1上的点A（1，1）的切线方程。

提示：由题意知，设切线的方程为y=kx+b，由于过切点的半径垂直切线，则过圆心O（0，0）与切点A（1，1）所形成的直线的斜率与切线的斜率k乘积为-1，所以k=-1。而且切线过切点A（1，1）即可求出切线方程。

（3）已知切线的斜率和圆的方程求切线的方程；

例4.求圆O：x2+y2=1的一条切线的斜率为5，求该切线方程。

提示：由题意知，设切线方程为y=5x+b，根据圆心O（0，0）到切线的距离等于半径1，即可解出b。

（4）已知圆的方程和圆外一点求切线的方程。

例5.从圆x2+y2=10外一点P（4，2）向该圆引切线，求切线方程。

提示：由题意知，设切线的方程为y=kx+b，利用过点P（4，2）以及圆心O（0，0）到切线的距离等于半径1，这两个条件即可求出k，b。

以上几题均可用待定系数法， 而待定的系数、常数就是通过形到数，转化为其内在的数量特征来解题的。

（二）利用图形研究方程、不等式问题

（1）当方程或不等式两边对应的函数的图像容易做出时，可将方程或不等式的问题转化为研究两个函数图像的交点或位置关系的问题。

例6.若方程lg（-x■+3x-m）=lg（3-x）在[0，3]有唯一解，求实数m的取值范围；

提示：可将题等价变形为

-x■+3x-m>03-x>0且满足方程-x■+3x-m=3-x在[0，3]有唯一解。这样题目就显得比较简单。可以做出y=-x■+3x-m和y=3-x的图象，根据其在[0，3]的交点只有一个。求出m的取值范围。

（2）构造三角形证明不等式

例7.已知为x、y、z为正数，0

求证：■+■>■

证明：如图2，构造三角形ABC，在三角形内取一点O，连接OA、OB、OC。

■

设OA=x，OB=y，OC=z。

由余弦定理可得：

AC=■

BC=■

AB=■

再由三角形的两边之和大于第三边即可得证。

（3）构造正方形证明不等式

例8.已知x∈R■，a，b，c，d均是小于的x的正数，求证：

■+■+■+■

提示：细心观察不等式发现不等式的左边很容易想到用勾股定理，且每式代表的直角三角形的一斜边，任意a+（x-a）=b+（x-b）=c+（x-c）=d+（x-d）。凭直觉可构造边长为x的正方形。如图3所示。

■

（4）构造矩形证明不等式

例9.已知a，b，c为正数，

证明：■+■≤■

提示：观察不等式，可以发现两个正数的乘积可以看成矩形的面积，也可以看成直角三角形面积的两倍，因此可以构造如图4。

■

（5）构造三棱锥证明不等式

例10.已知为x、y、z为正数，0

■+■

>■

提示：观察不等式各项的形式，可以联想到余弦公式，故可构造如图5。

■

（设∠AOB=α，∠AOC=β，∠BOC=γ，OA=x，OB=y，OC=z）

（6）构造长方体证明不等式

例11.（第13届“希望杯”赛题）已知α，β，γ为锐角，且cos■α+cos■β+cos■γ=1，求证：cotα・cotβ・cotγ≤■

提示：由cos■α+cos■β+cos■γ=1联想到α、β、γ为长方体对角线与相邻三条棱所成角，故可构造长方体。如图6。

■

三、利用图形研究三角函数问题

利用图形研究三角函数问题的方法比较灵活，技巧性强，平时多进行这方面的解题训练，有利于培养发散思维能力.

（1）构造单位圆解题

例12.设0

提示：若能将此三数视为函数y=x， y=sinx， y=tanx在0sinx.

■

（2）利用三角函数图象解题

例13.设0≤x

提示：原式可化为sinx-cosx=sinx-cosx，此等式成立的充要条件是sinx>cosx，故可作出下图8。

■

（3）构造三角形解题

例14.求证：cos■+cos■+cos■=■

提示：如图9，

■

∠EOF=■，OA■=A■A■=A■A■=A■A■

则OA■=2OB+2OD；OA■=OC+2A■C

则可得2cos■+2cos■=1+2cos■

2cos■+2cos■-2cos■=1

cos■+cos■+cos■=■

（一）由数到形， 利用形的直观， 加深对问题的理解

1.以数辅形的有关定理

（1）相似形的性质定理：平行线分线段成比例定理、推论及其推论的逆定理、三角形相似的判定定理和性质定理、直角三角形相似的判定和性质定理、相似多边形的性质定理；

（2）勾股定理；

（3）圆的有关定理：圆幂定理（相交弦、切割线定理及其推论（割线定理）统称为圆幂定理）、切线长定理、垂径定理、圆周角定理、弦切角定理、四圆定理；

2.应用举例

例15.（平行线分线段成比例定理的应用）如图10，在ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且■=■。求证：AD=EB。

■

证明：过D作DG∥AB交BC于G

DG∥AB，FB∥DG

■=■，■=■

■=■

■=■，AD=EB

例16.（圆幂定理的应用）如图11，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D，E，AB=12，AO=15，AD=8，求两圆的半径。

■

分析：结合图形和已知条件，根据勾股定理容易求出大圆的半径OB。

求OC也可考虑用上述方法，但AC未知，此时则可根据切割线定理先求出AE，再利用垂径定理便可求出AC，于是问题得解。

例17.（勾股定理的应用）如图12，在ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求证：AD■-AB■=BD・CD

■

证明：过A作AEBC于E

AB=AC，BE=CE

在RtADE中，AD■=AE■+DE■

在RtABE中，AB■=AE■+BE■

AD■-AE■=（AE■+DE■） -（AE■+BE■）

=DE■-BE■

=（DE+BE）（DE-BE）

=（DE+CE）（DE-BE）

=BD・CD

（二）当然在教学渗透数形结合的思想时，应掌握以下几点：

1.善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系。

2.正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系。

3.切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图。

三、数形结合命题学与教问题的几点思考

以几何综合与向量代数的相互转化作为一个典型的例子：新大纲指出“几何发展的根本出路是代数化，引入向量研究是几何代数化的需要”，向量学习目的之一是“重点培养学生使用向量代数方法解决立体几何问题的能力”“顺应几何改革代数化的方向”。在空间向量的教学中如何选用、怎样选用、何时选用几何综合推理与向量代数运算推理应具体情况具体分析， 具体地来讲教学中要注意以下几个问题：

（一）不能为用向量运算而用向量运算解题，甚至人为地用向量运算却给解题带来不必要的繁难，无形中挫伤了学生学习数学的热情。

例18.如图13，已知ABC-A■B■C■是正三棱柱，D是AC的中点。

■

求证：AB■∥平面DBC■。

证明：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz。

设正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为b，

则A（0 ，0 ，0） ，B（■a，■，0），C■（0，a，b），

B■（■a，■，b），D（0，■，0）。

设平面DB■C的法向量为n=（x，y，z），

则■=（■a，■，b），■=（-■a，0，0），■=（0，■，b）。

由n■，n■得

n・■=-■ax=0n・■■=■y+bz=0所以x=0，z=-■y。

取y=1得n=（0，1，-■）。

由于■・n=（■a，■，b）・（0，1，-■）=0，得■・n=0，

即■∥平面DBC1。

该例题是运用平面法向量处理立体几何问题。其实只要连接B■C交BC■于M，则易证AB■∥DM，从而使命题获证 ，以上用向量来求证该题显得非常繁锁且没有必要。因此，在我们的教学之中不能为用向量而用向量，人为导致解题的繁难。

（二）适当选用部分真正非用向量代数运算推理不可的典型例题，体现运用向量方法解题的必要性。

例19.斜三棱柱ABC-A■B■C■的底面为一等腰直角三角形，

直角边AB=AC=2cm，侧棱与底面成60°角，BC■AC，BC■=2■cm，求BC■与底面ABC所成的角。

解：如图14所示，建立空间坐标系O-xyz，并设C■点的坐标为（x，y，z） ，根据题设条件，CC■=（x，y-2，z） ，底面ABC的法向量n=k=（0，0，1）。

■

由■=2■，■■，CC■与底面所成的角60°，即=30°，得到C■的坐标所满足的方程组

x■+y■+z■-4x=20y=0z■-3x■=3x■-12y+12解此方程组，

得C■点的坐标是（2，0，2■）或（-1，0，■）。

所以■=（0，0，2■）或■=（-3，0，■）。

sin？=cos=■=■=■

所以BC■与底面ABC所成的角为90°或arcsin■。

（三）适当选用两法并用、穿插运用的典型例题，体现不能顾此失彼，有所偏废的的基本思想。

例20.如图15，已知ABCD为直角梯形， AD∥BC， ∠BAD=90°，AD=AB=1，BC=2，PA平面ABCD。求二面角B-PC-D的大小。

■

解法一：用向量代数法。借助向量容易证得■■，■■，从而PC面EFD，也就是说∠DEF为二面角B-PC-D的平面角。由■・■=0知■■，也就是说二面角B-PC-D的大小为90°。

解法二：易证EFCD，也就是说，直线EF垂直于PCD的一边CD，那么，直线EF能垂直于PCD的另外两边中的一边吗？也就是说，能证明EF面PCD吗？事实上，■=（-■，■，-■），■=（1，0，1），■・■=0从而EF面PDC，从而面BCP面ADC，这样二面角B-PC-D为90°。

四、数形结合思想的教育意义

（一）有利于培养学生发散思维能力

由于数形结合的题目是没有固定的、现成的模式可循，靠死记硬背、机械模仿很难得到问题的解答，学生必须充分调动自己的知识储备，打破原有的思维模式，用多种思维方法（如联想、猜测、直觉、类比等）进行思考和探索，因此数形结合的题目有利于培养学生发散思维能力，从而为创造能力的培养提供了可能。

（二）有利于激发学生学习数学的兴趣

因为答案的多样性，所以学生可以根据自己的经验、知识水平、认知能力，按自己的意愿选择思维方式解决问题。这样，不同水平层次的学生能给出适合自己现实水平的解答，从而使每位学生都能享受到“做数学”成功的乐趣，培养他们对数学的积极态度，增强他们学习数学的自信心。

（三）有利于提高学生探求真知的欲望

数形结合的题目极富挑战性的解题策略，易于激发学生的好奇心和求知欲，它没有固定的解题模式，需要学生独立地进行探索，这就为主动学习创造了条件。从教学的角度看，没有学生的积极参与，不可能有真正意义上的教学，因而数形结合的教学有利于保障学生的主体地位，使学生真正成为学习的主人。

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