勤于训练思考,善于总结归纳

江苏高考数学试卷附加题部分由6道解答题组成，其中必做题2题，考查选修系列2(不含选修系列1)中的内容，其中容易题、中等题和难题在试卷中所占分值的比例大致为5∶4∶1，选修系列4中的4个专题中只需要选两个解答，4个题的难度需大致相当；两个必做题的考查内容分布很广，有计数原理、概率、空间向量与立体几何、圆锥曲线与方程、数学归纳法等，而解答时间仅有30分钟，因此在平时的训练中，应严格控制训练量和难度，以基础题和中档题为主，勤于思考，注重知识点和方法规律的总结。

【例1】 在极坐标系中，圆C的方程为ρ=42cosθ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为x=t+1，y=t－1，（t为参数），求直线l被C截得的弦AB的长度.

分析 关于极坐标与参数方程问题，一般方法是将它们转化为直角坐标系下的普通方程再求解。

解 C的方程化为ρ=4cosθ+4sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ.

由ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,得x2+y2－4x－4y=0，

其圆心C坐标为(2,2)，半径r=22,

又直线l的普通方程为x－y－2=0,

圆心C到直线l的距离d=22=2,

弦长AB=28－2=26.

总结：1. 极坐标或参数方程的问题的求解，最基本的方法是将极坐标（方程）、参数方程转化为直角坐标（方程）、普通方程进行求解。

2. 要熟练掌握参数方程与普通方程之间的互化。将参数方程转化为普通方程最主要的手段是消元，消元的常见方法有：(1) 代入消元法；(2) 加减消元法；(3) 利用代数恒等式或三角恒等式。消元后要注意字母的取值范围是否发生变化。

3. 极坐标与直角坐标的互化：x=ρcosθ,

y=ρsinθ或

ρ2=x2+y2,tanθ=yx.

点拨 理解记忆几个简单图形的极坐标方程以及直线、圆及椭圆的参数方程，并会简单应用圆、椭圆的参数方程解题。

1. 直线的参数方程：过定点M0(x0,y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程都可以写成为：

x=x0+tcosα,x=y0+tsinα（t为参数），其中t表示动点M在l上以M0为起点的位移。

2. 曲线的参数方程：

(1) x2+y2=r2的参数方程为:x=rcosθ,y=rsinθ;

(2) (x－a)2+(y－b)2=r2的参数方程为:

x=a+rcosθ,y=b+rsinθ;

(3) x2a2+y2b2=1(a>b>0)的参数方程为:

x=acosθ,y=bsinθ;

(4) 抛物线y2=2px(p>0)的参数方程（以yx=t为参数）为x=2pt2,y=2pt。

3. 常见的直线和圆的极坐标方程：

θ=α表示过极点的直线；

ρcosθ=a表示过(a,0)且垂直于极轴的直线；

ρsinθ=b表示过b,π2且平行于极轴的直线；

ρ=r表示圆心在极点，半径为|r|的圆；

ρ=2rcosθ表示圆心在(r,0)，半径为|r|的圆；

ρ=2rsinθ表示圆心在r,π2，半径为|r|的圆。

【例2】 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.

(1) 证明：D1EA1D；

(2) 当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；

(3) AE为何值时，二面角D1ECD的大小为π4.

分析 ABCDA1B1C1D1是长方体，这为建立空间直角坐标系创造了有利条件。

解 以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）,C（0，2，0）.

(1) 因为DA1•D1E=(1,0,1)•(1,x,－1)=0,

所以DA1D1E.

(2) 因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而D1E=(1,1,－1),AC=(－1,2,0)，AD1=(－1,0,1)，设平面ACD1的法向量为n=(a,b,c)，则n•AC=0,n•AD1=0,

即－a+2b=0,－a+c=0,得a=2b,a=c，从而n=(2,1,2)，所以点E到平面AD1C的距离为h=|D1E•n||n|=2+1－23=13.

(3) 设平面D1EC的法向量n=(a,b,c)，

CE=(1,x－2,0),D1C=(0,2,－1),DD1=(0,0,1),

由n•D1C=0,

n•CE=0，2b－c=0,a+b(x－2)=0.

令b=1,c=2,a=2－x，n=(2－x,1,2).

依题意cosπ4=|n•DD1||n|•|DD1|=222(x－2)2+5=22.

x1=2+3（不合题意，舍去），x2=2－3.

AE=2-3时，二面角D1ECD的大小为π4.

总结：1. 设直线l1,l2的方向向量分别是a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则:

l1l2aba•b=0x1x2+y1y2+z1z2=0;

2. 点面距离

如图,点Aα,作AC平面α,C为垂足,设B为平面α内的任意一点,nα,即平面α的法向量为n,则同理有:AB•n=AC•n,|AB•n|=|AC|•|n|,

|AC|=|AB•n||n|,故点A到平面α的距离为:d=|AB•n||n|.

其中n为平面α的法向量,B为平面α内任意一点；

3. 二面角的求法

设二面角αlβ的两个半平面α,β的法向量分别是n1,n2,二面角αlβ的大小为θ,

则：cos(π－θ)=n1•n2|n1|•|n2|。

点拨 1. 空间线线平行：

l1∥l2a∥bx1x2=y1y2=z1z2（x2≠0,y2≠0,z2≠0);

2. 空间线面平行与垂直

设a1,a2,a3分别为l1,l2,l3的方向向量,若l1α,l2α,l1∥l2,那么l1∥α,它的向量表示为:

若a1=λa2,则l1∥α(或a1na1•n=0);

设直线l1α,l2α,l3α,l2∩l3=A,则有:a1a2a1a3l1α,即:a1•a2=0a1•a3=0l1α或l1∥n;

3. 求空间角的向量方法

(1) 两条异面直线所成角：

设l1与l2为异面直线,a1与a2分别为l1与l2的方向向量,设l1与l2所成的角为θ,则有:

cosθ=|cos〈a1,a2〉|=a1•a2|a1|•|a2|;

(2) 直线和平面所成角：

设a为直线l的方向向量,n为平面α的法向量,θ为l与平面α所成的角,则有:

cos(90°－θ)=|cos〈a,n〉|=a•n|a|•|n|,

即sinθ=a•n|a|•|n|;

4. 求空间距离的向量方法

(1) 两点间的距离

若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)，则有|AB|=AB2=(x2－x1)2+(y2－y1)2+(z2－z1)2，或dA,B=(x2－x1)2+(y2－y1)2+(z2－z1)2;

(2) 异面直线间的距离

如图,若CD是异面直线a和b的公垂线,A,B分别为a,b上的任意两点.

若na,nb,则n∥CD,n•AC=0,n•BD=0.由于AB=AC+CD+DB,AB•n=(AC+CD+DB)•n=AC•n+CD•n+DB•n.

AB•n=CD•n,|AB•n

|=|CD|•|n|,|CD|=|AB•n|

|n|,

故两异面直线a和b间的距离为:d=|AB•n||n

|;

(3) 直线到平面的距离

直线到平面的距离d=|AB•n||n|,其中n为平面α的法向量,A,B分别为直线和平面内的任意两点;

(4) 两平行平面间的距离

如图,两平行平面间的距离为d=|AB•n||n|,其中n为平面的法向量,A,B分别为两平面内的任意两点。

牛刀小试

1. 已知直线l的参数方程：x=t，y=1+2t（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ=22sinθ+π4．

(1) 将直线l的参数方程转化为普通方程，圆C的极坐标方程转化为直角坐标方程；

(2) 判断直线l和圆C的位置关系．

2. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.

(1) 求证：ACBC1;

(2) 在AB上是否存在点D，使得AC1CD?

(3) 在AB上是否存在点D，使得AC1∥平面CDB1?

【参考答案】

1. （1） 消去参数t，得直线l的普通方程为

y=2x+1；

ρ=22sinθ+π4，即ρ=2(sinθ+cosθ)，

两边同乘以ρ，得ρ2=2(ρsinθ+ρcosθ)，

消去参数，得C的直角坐标方程为：

(x－1)2+(y－1)2=2.

(2) 圆心C到直线l的距离d=|2－1+1|22+12=255

2. 直三棱柱ABCA1B1C1，AC=3,BC=4,AB=5,AC,BC,CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA,CB,CC1分别为x轴,y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C1(0,0,4),A(3,0,0),C(0,0,0)，B(0,4,0),B1(0,4,4).

(1) AC=(－3,0,0),BC1=(0,－4,4)，

AC•BC1=0,ACBC1,ACBC1.

(2) 假设在AB上存在点D，使得AC1CD，则AD=λAB=(－3λ,4λ,0).

其中0≤λ≤1，则D(3－3λ,4λ,0)，于是CD=(3－3λ,4λ,0),由于AC1=(－3,0,4)，且AC1CD,所以－9+9λ=0得λ=1，所以在AB上存在点D使得AC1CD，且这时点D与点B重合.

(3) 假设在AB上存在点D使得AC1∥平面CDB1，则AD=λAB=(－3λ,4λ,0),其中0≤λ≤1,则D(3－3λ,4λ,0)，B1D=(3－3λ,4λ－4,－4),B1C=(0,－4,－4).

由于AC1=(－3,0,4)，AC1∥平面CDB1，所以存在实数m,n,使AC1=mB1D+nB1C成立，m(3－3λ)=－3,m(4λ－4)－4n=0,－4m－4n=4,所以λ=12，所以在AB上存在点D使得AC1∥平面CDB1，且D是AB的中点.

（作者：史建军，江苏省丹阳高级中学）