第16讲 三角恒等变换

考情分析

三角函数是基本初等函数之一，三角函数中和差角公式、辅助角公式及三角恒等变换的结合时高考考查的重点内容之一.近几年高考中，客观题、主观题均有所体现，既有考查基础知识的选择题、填空题（1～2题，通常设置在靠前的位置），也有考查基本能力的解答题（1题，通常设置在16题），分值在10～15分，主要以容易题和中档题为主.从考查内容上讲，源于教材，主要考查对公式的理解和对公式的灵活运用，考查利用公式化简求值，恒等变形，与其它知识交汇等.从考查能力与数学思想上讲，主要考查考生的运算能力，逻辑推理能力，对数形结合、函数与方程的思想、分类与整合的思想、转化与化归等重要数学思想.

命题特点

1. 三角恒等变换主要与三角函数的求值、化简以及三角函数的性质相结合命题，如：（1）三角函数式的化简 ；（2）三角函数式的求值；（3）三角函数的求角问题；（4）三角函数的综合应用.

2. 利用[asin x+bcos x=a2+b2sin（x+φ）]把形如[y=asinx+bcosx+k]的函数化为一个角的某种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域和最值、对称轴等.该公式是逆用两角和的正弦公式得到的.当φ为特殊角时，即[ab]的值为1或[3（33）]，要熟练掌握.对φ是非特殊角时，只要求会求最值即可.

3. 高考中有时也将两角和与差公式、辅助角公式及三角恒等变换与向量等其它知识交汇命题.解决此类问题时，一要重视三角变化中的诸多公式，熟悉它们之间的内在联系；二要熟悉三角变换中各方面的技巧，特别是切化弦、降幂和升幂、角的变换等技巧.

备考指南

1. 复习时要掌握拆角、拼角技巧：[2α=（α+β）+（α-β）]；[α=（α+β）-β；][β=α+β2-α-β2]；[α-β2=（α+β2）-（α2+β）]；化简技巧：切化弦、“1”的代换等.

2. 复习时要熟练运用“三变法”解决综合性问题.

（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.

（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等.

（3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”“逆用变用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.

限时训练

1. 化简[2+cos2-sin21]的结果是 （ ）

A.[-cos1] B.[cos1]

C. [3cos1] D.[-3cos1]

2. 已知向量[a=sinα，cos2α，b=1-2sinα，-1，][α∈π2，3π2，]若[a?b=-85，]则[tanα-π4]的值为 （ ）

A. [17] B. [27]

C. [-17] D. [-27]

3.已知[sin2α=13]，则[cos2（α-π4）]= （ ）

A.[-13] B.[-23]

C.[13] D.[23]

4. 若复数[z=sinθ-35+cosθ-45i]是纯虚数，则[tanθ-π4]的值为 （ ）

A. -7 B. [-17]

C. 7 D. [-7]或[-17]

5. [cos38°sin98°-cos52°sin188°]的值为 （ ）

A. [22] B. [-22]

C. [32] D. [-32]

6.已知函数[f（x）=2sinx（3cosx-sinx）+1]，若[f（x-φ）]为偶函数，则[φ]可以为 （ ）

A.[π2] B.[π3]

C.[π4] D.[π6]

7.已知[ω>0]，函数[f（x）=cos（ωx+π4）]在[（π2，π）]上单调递增，则[ω]的取值范围是 （ ）

A.[[12，54]] B.[[12，74]]

C.[[34，94]] D.[[32，74]]

8.函数[y=12sin2x+π6]+[5sinπ3-2x]的最大值为 （ ）

A. [6+532] B. 17

C. 13 D. 12

9.已知[sin（α+π3）+sinα=-435，-π2

A. [-45] B. [-35]

C. [45] D. [35]

10.若 [0

A. [π6] B. [π5]

C. [π4] D. [π3]

11.已知[sinx=55]，[x∈（π2，3π2）]，则[tan（x-π4）=]________.

12.若[cosα=-45]，[α]是第三象限角，则[1+tanα21-tanα2]=________.

13.已知[x，y∈R]，且满足[tanxtany=2，sinxsiny=13]，则[x-y=]_________________.

14.设[α]为锐角，若[cosα+π6=45，]则[sin（2α+π12）]=__________.

15.已知函数[f（x）=2cosx-π12]，[x∈R].

（1）求[f-π6]的值；

（2）若[cosθ=35]，[θ∈3π2，2π]，求[f2θ+π3].

16.已知函数[f（x）=cos（2x-π3）+2sin（x-π4）sin（x+π4）.]

（1）求函数[f（x）]的最小正周期和图象的对称轴方程；

（2）求函数[f（x）]在区间[[-π12，π2]]上的值域.

17.已知向量[a=（sinx，2cosx）]，[b=（2sinx，sinx）]，设函数[f（x）]=[a・b].

（1）求[f（x）]的单调递增区间；

（2）若将[f（x）]的图象向左平移[π6]个单位，得到函数[g（x）]的图象，求函数[g（x）]在区间[π12，7π12]上的最大值和最小值.

18.已知[A（cosα，sinα）]，[B（cosβ，sinβ）]，其中[α，β]为锐角，且[AB=105].

（1）求[cos（α-β）]的值；

（2）若[tanα2=12]，求[cosα]及[cosβ]的值.