浅述单跨静定梁弯矩图的快速绘制

摘要：梁是结构的主要受力单元，在计算梁的承载及破坏时，弯矩图的作用至关重要。而弯矩图的绘制是学生在学习的一个弱点，因此针对静定粱结构的弯矩图快速绘制进行探讨，可以大大提高作图速度和效率。

关键词：静定梁 弯矩 弯矩图

引言：

力学课程是工科专业学生的一门必不可少的基础课程，它对于后续钢筋混凝土等课程的学习起十分重要的作用。就建筑本身来说，就是一个力学模型，要保证结构的安全就必须确保每个受力构件的计算准确。因此学好力学课程有非常重要的意义，而在日常力学课程的学习中，梁的弯矩图绘制却是学生在学习中的难点，文章通过总结各种弯矩图绘制的方法后，给出一种能够较为快速的绘制弯矩图的方法，对于梁的后续计算打下基础。

1理论知识

1、1 单跨静定梁的种类（如图1）：（a)悬臂梁(b)简支梁(c) 外伸梁[1]

图1 ：单跨静定梁的种类(Figure 1: The single-span beam statically determinate types)

1、2弯矩出现的原因：弯矩伴随梁的弯曲变形而出现

1、3弯矩的位置：弯矩出现在梁的截面上

1、4弯矩的正方向规定：弯矩使梁的下侧（以梁的轴线为分界）纤维受拉为正

1、5弯矩计算的基本方法：利用截面法计算，通过分段列弯矩图的函数表达式求解

1、6 弯矩图绘制的方法：先绘制梁的轴线，弯矩图绘制在梁的受拉侧，不需要标明正负号

2静定梁弯矩图绘制的实用结论

2、1 弯矩的本质：弯矩是为了平衡所有外界力对截面的转动效果

2、2弯矩分段的位置：弯矩作为内力的一种，与外力作用密切相关。因此，绘制梁的弯矩图时，在有外力（）作用的位置分段进行[2]

2、3 需要求解弯矩的截面位置：通常出现在梁的两端以及分段位置的截面处

2、4 弯矩图形的特点：

梁上的荷载分为四种情况：无荷载区段、均布荷载区段、集中力作用点和集中力偶作用点。可以对梁的弯矩图特点总结出以下规律（如表1）：

2、4、1、当某段梁上无分布荷载（无荷载区段），即时，是与无关的常数，是的一次函数。故剪力图为一条水平直线，弯矩图为一条斜直线。其中包括：

(1)当为正常数时，弯矩图为指向右下方的斜直线；

(2)当为负常数时，弯矩图为指向右上方的斜直线；

(3)当时，弯矩图为水平直线。

2、4、2、当某段梁上有均布荷载，即为常数时，是的一次函数，是的二次函数。故剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线，且弯矩图凸出方向与指向一致。其中包括：

(1)当为向上作用的正常数时，剪力图为指向右上方的斜直线；弯矩图为向上凸的二次抛物线。

(2) 当为向下作用的负常数时，剪力图为指向右下方的斜直线；弯矩图为向下凸的二次抛物线。

(3)剪力图上的点，对应着弯矩图中二次抛物线的顶点，即该区段弯矩的极值点。

2、4、3、 当某段梁上有按一次函数分布的荷载，即为的一次函数时，是的二次函数，是的三次函数。此时剪力图为二次抛物线，弯矩图为三次抛物线。

表1几种荷载作用下的剪力和弯矩图

(Table 1several loads of shear and bending moment diagram)

2、4、4在有集中力偶作用的横截面处，弯矩无定值，左右两侧发生突变。突变值的大小就是该处集中力偶矩的值。从左往右画弯矩图时，当集中力偶逆时针方向时，弯矩图由下向上突变；集中力偶顺时针方向时，弯矩图由上向下突变。

2、4、5在梁端的铰支座处，只要该处无集中力偶作用，则梁端铰内侧截面的弯矩一定等于0；若该处有集中力偶作用，则值一定等于这个集中外力偶矩。应注意，外伸梁外伸处的铰支座与梁端铰不同，无此特点。

2、4、6利用叠加法绘制弯矩图：

当区段内出现均布荷载时，先求出和的数值，连虚线，以虚线为基线，在虚线的中点顺着均布荷载的箭头方向叠加。

当区段内出现集中力时，先求出和的数值，连虚线，以虚线为基线，在虚线的集中力出现的位置顺着集中力的箭头方向叠加。

3计算实例

求图2所示外伸梁的图。

图2外伸梁 (Figure 2 overhanging beam)

【解】1用基本理论方法绘制弯矩图

(1)首先求出支座反力。

由梁整体的平衡方程得

分段并建立弯矩方程

以为坐标原点建立坐标系，取任意截面

AC段：弯矩方程： 它是一直线方程。

CB段：弯矩方程：它是一直线方程。

BD段：弯矩方程：它是一个二次抛物线方程。

计算各控制点的值（如表2）

表2：控制点的值（）

(4)绘出弯矩图

根据弯矩方程及各控制点的内力值，绘出弯矩图如图3所示。

2用弯矩的相关结论求解：

本题只需按支座将梁分为、两个区段即可。

值：

区段点的弯矩叠加值

区段中点的弯矩叠加值

由叠加作图如图3所示。

图3 弯矩图(Figure 3Bending moment diagram)

4结束语

梁的弯矩计算对于梁华的后续设计十分重要，而在日常的学习过程中，弯矩图的绘制却是个难点，通过对例题的求解，可以看出利用弯矩的相关结论绘制弯矩图对于提高解题速度有很大的帮助，而且也能够降低学习的难度，提高了教学质量，达到事办功倍的效果。

参考文献：

[1]《建筑力学》，夏锦红主编，郑州大学出版社，2007年 第7版

[2]《材料力学中弯矩图的使用划法》，苗德，天津轻工业学院学报，1993，92

[3]骆行，快速绘制剪力图、弯矩图[J]. 成都电子机械高等专科学校学报 2004，32

注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。