香蕉球的运动分析及方程推导

摘 要： 香蕉球看似神秘，然其背后也体现着相关的物理定律。香蕉球在运动过程中体现出曲线轨迹是伯努利效应和马格努斯效应的共同作用结果。球的表面附着一层薄薄的空气，当“香蕉球”一边飞行一边自转时，会带动表面的空气一起旋转，其中一侧转动的速度和球的前进速度相加，使得迎面气流受到较大阻力，另一侧情况则恰恰相反，自转速度和前进速度相减。于是带来了球的两侧气流速度不同。根据伯努利原理“流速越快压力越小”。“香蕉球”便受到一个侧向的力（“马格努斯力”），直接导致了飞行轨迹的弯曲。

关键词： 香蕉球；伯努利效应；马格努斯效应；气流速度；马格努斯力

0 引言

打从贝利1966年在伦敦世界杯赛中踢出了第一个“美丽的弧线”后，“香蕉球”便成为越来越多大牌球星们的基本功底和拿手好戏。被誉为“万人迷”和“英格兰圆月弯刀”的贝克汉姆一次次用最优雅的“贝氏弧线”博得世界的喝彩，“金左脚”卡洛斯的“炮打双灯”为足球史留下了一段佳话，而“绿茵拿破仑普拉蒂尼踢出的“香蕉球”横向飘移量竞达5m之多，使他成了至今无人挑战的“任意球之王”。

1 香蕉球运动理论分析

1.1 伯努利方程

伯努利原理认为：“物体在水流（或气流）里，在流速小的一侧水流对物体侧面的压强大于流速大的水流对物体侧面的压强。“香蕉球”是怎样踢出来的呢？“香蕉球”有内弯香蕉球和外弯香蕉球之分.踢香蕉球时运动员并不是拔脚踢足球的中心.要踢出外弯香蕉球，球员要站在皮球近侧，提腿时锁紧脚眼，脚尖向下.在击球过程中运动员顺势扭身摆腿借助扭腰的动作增加脚部与皮球之问的摩擦力，利用脚外侧抽击皮球偏内1/3处把球“搓”起来.球受搓后，在向前运动的同时还发生快速旋转.根据相对运动原理，足球两侧空气的流动速度不一样，一边流速大，一边流速小.这样一来，空气对球的压强也不一样，球两侧的空气产生了一个横向的压力差，从而使球发生侧向偏离，于是球就沿一条弯曲的弧线运行。踢球力度越大，球运动曲线的弧度越大。

1.2 马格努斯效应

足球在空中的运动过程，可以视为重力场中质量均匀分布的球体在流体（空气）中的运动过程一般说来，在流体中运动的物体要受到浮力、升力、阻力、阻力矩等作用。流体具有粘滞性，因此，有阻力施加于物体上，研究表明：低雷诺数时阻力与速度的一次方成正比，高雷诺数时阻力与速度的二次方成正比。若足球向前飞行时不产生绕对称轴的旋转，则周围空气对足球运动的影响只是减慢球的飞行速度，其在空中的运动轨迹为一平面曲线，不会出现“香蕉”球。如果足球在空中运动时，一边向前飞行，一边绕对称轴旋转，则由于足球的旋转和空气粘性的共同作用，在足球周围的附面内产生环流，前方来流和环流共同作用的结果，在来流和环流同方向的一侧，流速加快，在反方向的另一侧，流速减慢，根据伯努利原理，流速加快的一侧压力下降，流速减慢的一侧压力升高，二侧的压力差对足球产生侧向作用力称为马格努斯力，方向与足球的瞬时转轴垂直，且与足球的运动方向垂直（伸出右手，用食指表示球的飞行方向，蜷曲的三指表示球的旋转方向，与食指水平垂直的拇指则表示“马格努斯力”的方向）。设足球半径、旋转角速度、空气密度、及相对球而言的气流速度分别为：r，w，v。，由儒可夫斯基环流理论，可求出马格努斯力为：

2 运动分析及公式推导

由分析得球在飞行过程中受重力、空气阻力、马格努斯力三个力的影响，假设球在空间的运动方向如图所示：

马格努斯力方向垂直于速度方向斜向上，空气阻力方向与速度方向相反，重力竖直向下。

则公式推导如下：

设空气阻力的系数为

（将②③代入①中得）

参考文献：

[1]胡锐、邹祖莉，“香蕉”球的奥秘与物理学中的力学原理，物理教学探讨，2006，24（23）.

[2]王伟、刘欣，浅谈“香蕉球”的力学原理，体育科技文献通报，2008，16（3）.