基于多项Logit模型网上订单的最佳配送时间实证分析*

摘 要 随着互联网的不断普及和飞速发展，上网购买商品正成为人们日常消费的主要方式之一，提供网上购物服务的商家也日益增多.但不同的商家所提供的商品的价格、服务质量不尽相同，因此，商品的价格、订单配送时间的长短等都是影响顾客与商家的买卖是否成交的重要因素.本文就是站在商家的立场上，从顾客对商家所提供的商品价格、服务满意度出发，建立一个顾客选择商家的数学模型――多项Logit模型，然后再以商家的期望收益最大为目标，确定最佳的顾客订单指定配送时间.

关键词效用理论；多项Logit模型；最大收益；配送时间

中图分类号 F224.7 文献标识码A

doi:10.3969/j.issn.1003-6970.2011.01.007

On the Real Diagnosis Analysis of Best Allocation Time for Internet Order Based on Many Items of Logit Model

ZHU Jia-rong

Guangxi National Teacher’s College,Department of Mathematics & Computer Science,P. R.China Guangxi Province, ChongZuo 532200

【Abstract 】 With the unceasing popularization and the rapid development of the Internet, shopping on the internet has become people’s one of daily expense fundamental modes, as a result, the number of sellers provide the internet shopping service is increasing day by day. However, the commodity price and the quality service are very different from one seller to another, because of this; the commodity price, the length of the order allocation time etc. are the key factors that decide whether a deal between the sellers and customers. Based on the standpoint of the sellers ,the customer s’ satisfaction for the price and service of the commodity and taking the sellers’ expectation for maximum profit as the goal ,this thesis establishes a mathematical model - - many items of Logit model to determine the best the allocation time for the customer s’ orders.

【Key words】theory of efficiency; many items of Logit model; maximum profit; the allocation time

0引言

近年来随着网络的普及和快速发展，网上订货、购物等电子商务已逐渐进入人们的日常生活，提供网上购物服务的商家网站也日益增多，如淘宝网、当当网、拍拍网、卓越网、易趣网等都是比较有名气的网上购物网站.顾客可以在网上订购他们需要的商品，一旦顾客选定订货的商家，商家一般都会按顾客指定的送货地址直接配送商品，这种方便、快捷的上门直接配送模式，越来越受到顾客的青睐.北京正望咨询有限公司最新的调查结果显示，2009年我国网上购物持续高速发展，有1.3亿消费者共计在网上购买了2670亿元的商品，比2008年实现了90.7%的增长。预计2010年我国网络购物市场规模将达到4900亿元，到2012年我国网络购物市场规模将超过10000亿元。网络购物正成为越来越多消费者的选择，网络渠道的价值也被越来越多的商家所认知.但由于提供顾客选择的商家众多，不同商家所提供的商品种类、价格、服务质量不尽相同，因此，对商家而言，除了需要考虑品种、价格因素外，如何为顾客提供更方便、更快捷的服务，缩短订单配送时间也是吸引顾客的重要因素.

从数学的角度来分析，从顾客下订单到配送入户的实际时间是随机的，所以若买卖双方合约中规定的顾客订单指定的配

送时间越短，虽然吸引顾客购买该商家商品的可能性会增加，但是商家违约的可能性也会越大.因此，商家一方面希望从顾客下订单到配送入户的时间周期能尽可能短，以便吸引更多的客源；另一方面，一旦商家所承诺的配送周期定得太短，商家又会有不能按时将商品配送到顾客手中的风险，从而在市场上产生不良影响，并导致失去顾客和需支付一定违约金.

现在市场上有三个商家提供顾客所需要购买的某种商品，而在影响顾客选择购买商家的可衡量指标中，其中一个就是商家的顾客订单指定的配送时间.考虑某一指定的商家，除了顾客对该商家的订单指定的配送时间以外，它从每个购买其商品的顾客中所获得的平均毛利，从顾客下订单到配送入户的实际时间所服从的概率分布，配送发生延误时单位时间商家需支付顾客的延误罚金，以及顾客购买各个商家的商品时各可衡量指标及其效用参数都是已知的，在这情况下，为该商家确定最佳的顾客订单指定的配送时间.

1解决思路

针对上面所提出的问题我们可以分两步解决.第一步，从顾客对各商家的可衡量指标的满意程度以及个人偏好出发，来选择要购买商品的商家，实际上是确定顾客购买某商家商品的概率.这是一个决策问题，由经济学的知识知道，顾客在不确定场合下作出决策往往基于某些偏好，一般要通过效用理论来进行分析.这里所谓的效用，不仅在于具有满足消费者某种欲望或者需求的客观物质属性，而且效用的有无与大小，还取决于消费者的主观感受和消费者从购买该商品所受到的满足.因此作为一个理性消费者，一般都会从使其获得最大效用的商家处购买所需的商品【1】.基于这样的经济学原理，我们可以选用多项Logit模型作为顾客选择商家的数学模型，并由这个模型计算顾客购买某商家的概率.

第二步，以商家收益的最大为目标建立优化模型，建模的关键在于分析顾客订单指定的配送时间、顾客购买某商家商品的概率，与商家从每个购买其商品的顾客中获得的收益之间的关系，提出合理、简化的假设，确定目标函数.对于从顾客下订单到配送入户的实际时间这个随机变量，可以在实际调查和先验知识的基础上，假定这个随机变量的概率分布，从而以商家的期望收益最大为目标，来确定最佳的顾客订单指定的配送时间.

2 模型的建立与求解

2.1顾客选择商家的数学模型

在多元线性回归分析中，一般都是要求响应变量的样本观测值必须是连续的，且与随机误差同分布.但在许多实际问题特别是决策问题中，由于受到条件的限制或决策的需要，响应变量的样本观测值或决策结果往往是离散的.这时用多元线性回归分析就难以直接建立合适的数学模型，需要其它模型取而代之，其中多项Logit模型（译作“评定模型”，“分类评定模型”，也译作“逻辑回归模型”）就是离散选择理论中常见的一种应用模型，属于多重变量分析范畴，是社会学、生物统计学、市场营销等统计实证分析的常用方法，它可以为一个理性消费者在提供众多备选方案中选择一个最佳方案.【2】 多项Logit模型的理论框架来源于经济学中的随机效用理论，即以效用函数为出发点，认为消费者在理性的经济选择行为下，会选择带给他效用最大化的方案 （在我们的模型中就是商家 ）作为选择方案.在这里，顾客的效用既可以来自顾客对商家所提供的商品的价格的满意度，也可以来自顾客对商家所提供购物服务的满意度和个人的特定偏好等.出于对上面提出的问题的需要，我们应该把商家的顾客订单指定的配送时间作为刻画顾客选择商家的指标之一.

由于顾客在选择商家时，需要同时考虑许多复杂的因素，其中的不确定性甚高.因此，顾客选择商家时，商家的商品对顾客所产生的效用 一般可以用如下的数学式子表示：

, (1)

其中 为总效用 的系统项，它是可衡量效用，反映的是商家与顾客的所有可观测的属性；而 为总效用 的误差项，是随机效用，代表了顾客的特殊的偏好和无法被观察的效用.为方便起见，我们假设 服从位置参数为0、刻度参数为 的Gumbel极值分布，且 对j是相互独立的[3]，于是 的概率密度函数和分布函数分别为

(2)

由于顾客总是选择带给他效用最大的商家作为其选择方案，故顾客选择商家j的概率为

(3)

由于 （ 相互独立且其分布由（2）式给出，因此

（4）

这里 和 分别是标准Gumbel分布的概率密度函数和分布函数，即

(5)

可以验证，

若假设 即 独立同分布，且服从标准Gumbel分布，则由（4）得出

(6)

这里的（6）式就是在经济学中经常所说的离散选择下的多项Logit模型.为了将上述模型更好地应用到我们的问题，可以假设可衡量效用 对可衡量指标是线性的，即

（7）

这里 表示顾客对商家 的商品的固定偏好，向量 表示所有 个会对顾客的购买产生效用且与商家 的商品相关的可衡量指标，可理解为可衡量效用 的解析变量，向量 为度量指标所产生效应的参数向量.由于市场中商家的顾客订单指定的配送时间（记为 ）是顾客购买商品的一个重要的效应因子，也是模型中的决策变量，为方便起见，我们记可衡量效用因子向量 中的第一个分量 为由 所产生的购买效用，它是一个负效用，故可以设 ，其相应的参数 记为 ，此时 可理解为顾客对商家的订单指定的配送时间所产生效应的响应系数（不妨设 对市场中所有商家都是一样）.于是（7）就可以写为

(8)

若商家 是顾客最终选择的商家，其订单指定的配送时间 是问题的决策变量，为了叙述的方便，我们把 直接记为 .由式（6），（8），可以得到顾客选择商家的商品的概率为

(9)

若记

（10）

则（9）式就可简写为

（11）

由于，

所以顾客购买商家商品的概率是关于其订单指定的配送时间单调递减的.

2.2优化模型目标函数的确定

根据问题的需要，除了上面已经使用的记号和变量外，还需引入以下符号和假定：

～商家 从顾客下订单到配送入户的实际时间，假设为连续型随机变量，其概率密度函数和分布函数分别为 和 ，且数学期望为 .

～商家 配送的延误时间，即 .

～配送延误时商家 需支付顾客的单位时间罚金.

～商家 从每个购买其商品的顾客中所获得的平均毛利.

记 为商家 为每个购买其商品的顾客中所获得的纯收益，则

.

由 概率密度函数 可得 的数学期望为

（12）

上面我们已经得到了顾客选择购买商家 的商品的概率为 ，于是商家从每个顾客获得的期望收益应为

（13）

上式即为问题的目标函数.

2.3模型的求解

为了叙述简单起见，我们将（10）的 代入（13），并略去式中 ， 和 的下标 ，得到模型目标函数为(14)

求顾客订单指定的最佳配送时间 ，使 最大.对（14）的 求导，得到

(15)

其中 .令 ，得到(16)

将上式的左边记为函数 ，则 关于 的导数

(17)

即 关于 为单调递减，

且（18）

根据微积分的知识，可以得到以下两个结论：

（1）若 ，则存在由（16）唯一确定的 使得 .将（16）代入（14）得到商家从每个顾客处获得的最大期望收益为

（19）

（2）若，则，于是时，由（14）直接得到商家从每个顾客处获得的最大期望收益为

（20）

3 实证分析

为了更好地说明所建立的模型在实际中的可应用性，我们将通过具体的数值例子对给出的模型及计算结果作简要分析讨论。

首先，根据经验假设商家从顾客下订单到配送入户的实际时间 服从位置参数为 ，刻度参数为 的指数分布，即 的概率密度函数为

（21）

其中参数 ， 均大于0.显然，从顾客下订单到配送入户的实际时间的数学期望为

设 ，将（21）代入（14）计算，得到商家从每个顾客处获得的期望收益 为

（22）

由于

可知 关于 是严格单调递减的，但当 时， 关于 是单调递增的，而后者在实际情况中是可以实现的【4】.

按照3.1建立的模型，进一步假设目前市场上由3个商家（ ）提供顾客所需要购买的商品，顾客最终选择的商家为 ，影响顾客选择购买商家的可衡量指标数也是3个 ，其中 的指标就设为商家的顾客订单指定的配送时间.除了顾客对商家 的订单指定的配送时间所产生的效用未知外，顾客对购买各商家商品的其他效用由以下的数据来给出：

（1）顾客对商家 的产品的固定偏好为 ；

（2）顾客在购买商家 商品时，3个影响顾客选择购买商家 （ ）的可衡量指标所产生效用分别是 和 ，其对应的参数向量为 ；

（3）商家 的下订单到配送入户的实际时间 分布的位置参数 ；

（4）商家 对顾客购买其商品订单指定的配送时间延误时需支付顾客的单位时间罚金 ；

（5）商家 从每个购买其商品的顾客中所获得的平均毛利为 .

将以上数值代入（10），得到 ，

故根据式（11），顾客选择商家 购买商品的概率为

（23）

而由（22），商家从每个顾客处获得的期望收益（即目标函数）为

（24）

由于该商家从顾客下订单到配送入户的实际时间的期望为 ，因此，由上面从微积分知识推出的结论得，当 时，存在唯一的 满足

（25）

使得 .这时该商家从每个顾客处获得的最大期望收益为（26）

这样，我们在用模型（14）求解决策变量――顾客订单指定的配送时间以及相应的目标函数――商家从每个顾客处获得的期望收益时，还有2个未知量:顾客对商家的订单指定的配送时间所产生效应的响应系数 和商家从顾客下单到配送入户的实际时间所服从的指数分布的刻度参数 .因此我们就把 看做两个可变参数，在他们允许变化的范围内取值后代入式（25）就可以求出商家从每个顾客处获得最大期望收益时对应的配送时间 ，再将所求出的配送时间 及2个可变参数 的值代入（26）即可求出商家从每个顾客处获得的最大收益 .例如我们取（ 的值分别对应如下5组值：（1.00，0.30），（1.00，0.60），（1.00，1.00）；（2.00，1.00），（3.00，1.00），按上面的具体求法通过计算机运行数学工具软件就可以求出他们对应（ , ）的值分别是（5.90，0.71），（2.83，16.28），（2.01，27.11），（1.79，31.65），（1.71，37.11）.从所得的结果不难看出 的取值变化对 , 的值影响是比较显著的，特别地参数 越大， 就越小，而 越大.

4结论及建议

本文基于多项Logit模型下给出这个模型为商家确定最佳的顾客订单指定的配送时间提供了一个有效的方法.众所周知，顾客订单指定的配送时间越短，顾客购买该商家的商品的可能性就越大，但此时商家违约的可能性也越大.模型在假设顾客的购买概率由多项Logit模型给出的前提下，通过极大化商家的期望利润，可以得到最佳配送时间存在的条件，并求得这一最佳值.

由于在我们的模型中，假设了顾客商品的概率是由多项Logit模型给出的，而以多项Logit模型进行实际分析时，可能会产生无法观测的效用函数误差、效用函数型态及解释变量的指定问题.因此，作为改进的想法，可以考虑更进一步的模型，如巢式Logit模型，这样更能符合顾客选择行为的真正意向.但在使用巢式Logit模型时，需要处理好巢层数的给定等问题【5】.如果假设商家在顾客订单指定的配送时间之前已经将顾客订购的商品配送入户，还能获得额外的利润的话，那么，这种情形下的最佳配送时间应该如何确定呢？ 这也是一个值得考虑的问题.

参考文献

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[3] 德格鲁特，舍维什（美国）．概率统计[M]．第3版．叶中行，王蓉华，徐晓岭等译．北京：人民邮电出版社，2007．

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[5]王济川，谢海义，姜宝法．多层统计分析模型――方法与应用[M]．北京：高等教育出版社，2008．

作者简介: 朱家荣，男，(1965年-)，理学士学位，副教授，华中师范大学数学与统计学院访问学者，“离散空间的模糊多属性决策理论与方法研究”课题组的主要成员，研究方向为数学建模、运筹学、图论、计算机数学软件。

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