例谈简易逻辑

在逻辑学中,判断是对客观事物所有肯定或否定的思维形式,所以判断有真有假。判断的真假要看判断是否符合思维对象的实际情况,并要通过检验。数学判断是关于数学对象及其属性的判断。命题是数学逻辑的名词,在数学中用来表示数学判断的语句或符号的组合称数学命题。

1.命题的定义:可以判断真假的语句叫命题。

2.命题的分类:命题分为简单命题和复合命题,把简单命题用一些逻辑联结词(或,且,非)联结起来,就构成了复合命题。

3.关于联结词“或”“且”的理解:复合命题“p或q”“p且q”是用联结词“或”“且”联结两个命题p与q,既不能用“或”与“且”去联结两个命题的条件,也不能联结两命题的结论。

例1.(1)已知p:方程(x-1)(x-2)=0的根为x=1;q:方程(x-1)(x-2)=0的根为x=2,写出“p或q”

(2)p:四条边相等的四边形是正方形;q:四个角相等的四边形是正方形,写出“p且q”

错解:(1)p或q:方程(x-1)(x-2)=0的根为x=1或x=2;

(2)p且q:四条边相等且四个角相等的四边形是正方形。

分析:(1)、(2)中的p、q都是假命题,所以“p或q”“p且q”也都是假命题,而在解答中给出的两个答案(也是命题)却是真命题。错误原因:(1)联结了两个命题的结论;(2)联结了两个命题的条件。

正解:(1)p或q:方程(x-1)(x-2)=0的根为x=1或方程(x-1)(x-2)=0的根为x=2;

(2)p且q:四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形。(这两个命题都是假的)。

例2.p:菱形的对角线互相平分;q:菱形的对角线互相垂直,写出“p且q”解:p且q:菱形的对角线互相平分且(菱形的对角线互相)垂直。

注:在不影响命题真的情况下,可以省略两个命题的同一主语,如上述命题括号里的可省略。

4.关于“非”的理解:

(1)“非p”只否定p的结论:“非”就是否定的意思,设p表示一命题,若否定命题p则得一新命题非p,“非p”也叫命题的否定,与下面要说的“否命题”不同,“非p”只否定命题的结论不能否定条件,也不能将条件和结论都否定,要写“非p”应先弄清p的条件和结论。

例3.p:方程x2-5x+6=0有两个相等的实根,写出“非p”

错解:“非p”:方程x2-5x+6=0有两个不相等的实根;

分析:命题p的条件是:“方程x2-5x+6=0”,结论是“有两个相等的实根”,所以“非p”应否定“有”而不能否定“相等”。

所以“非p”:方程x2-5x+6=0没有两个相等的实根。

(2)p与“非p”真假必须相反

例4.写出例1.(2)中p的“非p”

错解:“非p”:四条边相等的四边形不是正方形;

分析:因为p是假命题,所以“非p”肯定是真命题,而上述“非p”也是假命题。

正解:“非p”:四条边相等的四边形不都是正方形。

注:“是”的否定有时为“不是”,有时为“不都是”要看“是”的含义而定。

(3)“非p”必须包含p的所有对立面:“非”相当于集合在全集中的补集,假定p与“非p”的结论所对应的集合分别是A、B,则必须满足A∪B=(全集)A∩B=Φ,“非p”的结论必须包含p的结论的所有对立面,这样就为后面我们学习“反证法”奠定了基础。

例5.p:方程x2-5x+6=0有两个相等的实根,写出“非p”

解:因为实系数一元二次方程的解的情况有三种,任何一种的否定都应该包含另外两种,所以p的对立面是:方程x2-5x+6=0有两个不相等的实根或无实根,故“非p”:方程x2-5x+6=0没有两个相等的实根。

(4)“非p”必须使用否定词语:一般地,写一个命题p的“非p”必须使用否定词语对正面叙述的词语进行否定。

例6.p:方程x2-5x+6=0有实根,写出“非p”

错解:“非p”:方程x2-5x+6=0有虚根;尽管“虚”是“实”的否定,但“虚”不是否定词,所以正解:“非p”:方程x2-5x+6=0无实根。

5.命题及其命题间的关系:

(1)命题的基本形式:若p则q我们按照p与q所在位置、肯定与否定的情况,有这样的四种组合:原命题:若p则q;逆命题:若q则p;否命题:若非p则非q;逆否命题:若非q则非p。

注:否命题与命题的否定是不同的,一命题的否命题既否定结论,同时又否定条件,而这个命题的否定形式是若p则非q,即:只否定结论而不否定条件。如:命题若xy=0则x=0或y=0的否定形式是:若xy=0则x≠0且y≠0,其否命题是:若xy≠0则x≠0且y≠0。

(2)四种命题的形式及其关系,可用下图表示:

6.四种命题与充要条件的关系:在四种命题的基础上,要知道原命题与它的逆否命题是等价的,它的逆命题与它的否命题是等价的。条件的充分性与必要性与命题的四种形式有密切的联系:

充分必要条件(对于假设p是使结论q能成立的充分必要条件)

p?圮q意味着两方面内容:

(1)原命题:若p则q就是说p是q成立的充分条件;

(2)逆命题:若q则p就是说p是q成立的必要条件。

即:要证明条件p是结论q成立的充分条件时就证若p则q;要证明条件p是结论q成立的必要条件时就证若非p则非q,而若非p则非q为若p则q的否命题,它等价于逆命题(若q则p)因此说:如果原命题及其逆命题同时成立,那么条件p是结论q成立的充要条件。

故“非p”为:x>10或x10或x

“非q”为:x>1+m或x1+m或x

因为非p是非q的必要不充分条件,即:非p非q

所以B?哿A,所以有1-m≤-2且1+m≥10(但1-m=-2与1+m=10不能同时成立),又m>0所以m≥9为所求的取值范围。

命题中的问题是很复杂的,中学只学习一些结构简单的命题,上述一些观点只是笔者在教学学习中的一点体会,不当之处希望专家老师们指正。

参考文献:

1.沈康身.《数学的魅力》.上海辞书出版社

2.关于命题的困惑.中学数学教学参考.2002.1-2合期

3.十三院校协编组编.《中学数学教材教法》.高等教育出版社

作者单位:①延安市第一中学

②延安市安塞高级中学