正态总体均值的置信区间的一点注记

【摘 要】本文通过理论分析和数值计算，证明了在正态总体中，当σ2已知时，对于其均值的区间估计，采用u区间比t区间要优。

【关键词】正态总体； 置信区间； 置信系数； 区间长度

0 引言

正态总体N（？滋，σ2）是统计中最常见也是最重要的总体，其均值？滋一般未知，为此，对？滋进行区间估计，在教学中，我们通常是在σ2已知和未知的两种情形下，给出？滋的置信区间，如

设X1，...，Xn是来自正态总体N（？滋，σ2）的样本，？滋未知

定理1[1]：当σ2=σ02已知时，？滋的置信系数为1-？琢的置信区间为：

[■±■？滋？琢/2] （1） （？滋？琢/2为N（0，1）上侧■分位点， （1）也称？滋区间）

定理2[2]：当σ2未知时，u的置信系数为1-？琢的置信区间为：

[■±■tn-1，？琢/2] （2） （tn-1，a/2 为tn-1 上侧■分位点，（2）也称t区间）

观察（1）、 （2）发现，当σ2未知时，只能用（2）估计u，而当σ2=σ02 已知时，（1）、 （2）都可用，且置信系数都为1-a，那么此时，（1）、 （2）两种区间哪一种要好呢？教科书上并没有给出直接回答，本文拟在mathematica中用数据说明，当σ2已知时，就平均而言，？滋区间比t区间要优一些。

1 分析

在置信系数相同的情况下，区间长度越短越好。对（1），其区间长度为l0=2■u？琢/2，此为常数，对（2），其区间长度为l=2■tn-1，？琢/2，l是样本X1，...，Xn的函数，是一个统计量，只能计算它的平均值El.

令 El=■tn-1，a/2ES=■tn-1，a/2E■2

=■tn-1，a/2■E■2

=■tn-1，a/2■■・σ0

另e=■=■

=■・■（3）

称e为平均长度比，若e

2 计算e值

在mathematica中，不妨取？琢=0.05，0.01，让n从5运行到100（可以更大），计算（3）式值。运行结果如下：

？琢=0.05

表 1

小括弧内第一个数为n值（样本量），第二个数为e值，可见e总是小于1，且随着n的增大，e也在增大。

若将表中的n和e作最小二乘拟合，可得如下经验函数：

e0.05=■arctan（0.66313n-0.853257）

图 1

（上接第178页）可用图1表示拟合的情况

同理，当上述运行程序中a取0.01时，可以得到类似于表1的结果， 即e值小于1，且随的增大而无限逼近于1。将n和e作最小二乘拟合，也可得到相应的经验函数：

e0.01=■arctan（0.384341n-0.484558），用图2表示拟合的情况：

图 2

3 结论

由上面计算可看到：

1）？琢不论取何值，总有e

2）当n∞，e1，表明随着样本量的增大，u区间优于t区间的程度在减小。

■=■■.■

=■■（4）

由t分布的渐进分布为正态分布和stirling[3]公式：■■=1知：

（4） =■.■

通过以上的分析和讨论，可以使同学们从直观上认识到σ2已知时，两种区间的优劣，同时也加深了大家对置信区间的两要素的理解。

【参考文献】

[1]陈家鼎，孙山泽，李东风，刘力平.数理统计学讲义[M].北京：高等教育出版社， 2006.

[2]陈希孺.数理统计引论[M].北京：科学出版社，1981.

[3]王松桂，史建红，尹素菊，吴密霞.线性模型引论[M].北京：科学出版社，2004.