运用不同模型进行波动率建模与风险价值估计的比较研究

【摘要】本文主要研究评价在MSCI BRIC市场中预测波动率和风险价值的不同方法。为了预测波动率，文中主要使用了GARCH和RiskMetrics两种模型；利用波动率继而计算出风险价值；并使用FHS来检验波动率和风险价值。结果显示，使用GARCH模型对权益资产的预测优于RiskMetrics模型。

【关键词】波动率；风险价值；模型；比较研究

1研究背景

随着金融业在世界范围内快速发展，越来越多金融技术、模型和工具被用于日常研究。由于风险价值评估被广泛使用，其测量方法的重要性不言自明。评估风险价值有助于在复杂的金融活动中作出明智的决定，尽可能管控风险。为了测量波动率和风险价值，本文检验了GARCH和RiskMetrics两种模型。每种方法都将仔细描述和评价，相信通过使用不同方法，可以增强该研究的鲁棒性。

本文的目的是通过分析，说明在MSCI BRIC（摩根斯坦利金砖四国）市场中何种方法最适用于权益资产数据的波动性和风险价值预测，即何种方法预测准确性最优。在方法论之后，会使用Kupiec检验方法来检验得出的结果；并在最后一部分对研究目的进行回应总结。

2文献回顾

风险价值是测量一个实体市场风险敞口的工具（Linsmeier etc.，1996），可以通过经验分布来估测。一些研究假定资产回报呈正态分布，但事实上却呈现出偏斜度和超额峰度的情况。因为正态分布不能够说明包含极端情况的厚尾，所以对于常态的假定会低估或高估真正的风险价值。

很多研究使用模拟法来计算风险价值，Linsmeier和Pearson（1996）讨论了三种：变异数共变异数法（即一阶常态法）和历史模拟法及蒙特卡罗模拟法。通过对60家美国和加拿大的大型跨国银行在19962005年间使用的方法调研发现，历史模拟法最常用，比例为73%。尽管这些方法最常用来计算风险价值，但各有利弊。

RiskMetrics模型不仅对公司意义重大，研究者还可以该模型为基准进行测试、评价和改进。它还将风险价值的概念介绍给投资者，使其可通过一个数字来了解市场风险。但不同研究也发现RiskMetrics模型存在缺陷，并对其进行了改进，即GARCH（广义自回归条件异方差）模型。Christoffersen（2001）曾使用GARCH和RiskMetrics两种模型对风险价值进行测试比较，发现两者短期方差预测比较接近，但长期预测存在差异。

3方法论

3.1 数据

本文数据主要选择代表发展中国家，即新兴经济体市场的MSCI BRIC指数。该指数不存在非系统风险，因而结果更可靠。数据范围为2009年1月1日至2014年12月31日，始于信贷危机最大跌幅之后，即排除了较大异常值，止于可得最新数据。数据共1564个观测样本，数量满足需要。数据均使用DataStream搜集。

3.2 描述性统计

通过表1看出，MSCI BRIC市场的对数收益率较为不稳定（最小值0.0693，最大值0.0668），呈现左偏斜（0.0664），与正态分布相比有峰值和厚尾，即尖峰态分布。

3.3 GARCH模型

GARCH模型既能说明收益率数据的重要特征，也可将个体资产的特殊情况纳入考量。不足之处在于需要非线性参数估计，及无法预估多时期分布状态。其关键优势是单日预测方差σ2t+1|t可以通过σ2t+1得出，动态方差如下：

σ2t+1=ω+αR2t+βσ2t，约束条件α+β

GARCH模型依赖长期平均方差σ2，而该数值在长时间内基本稳定。模型假定未来方差将最终回归到平均值，事实也正是如此。高持久性，如α+β趋近1意味着冲击将持续很长一段时间并使方差偏离长期平均方差，但最终长期预测将回归至长期平均方差σ2。

该模型用于短期方差预测较自如，其依赖于收益率平方的对数和方差对数，本文将通过拟最大似然估计（QMLE）方法对非线性参数ω和α及β进行预估。

3.3.1 最大似然估计

通过使用最大似然估计方法来预估GARCH模型的参量。假设：

Rt=σtzt，zt～i.i.d.N（0，1），通过lt，似然值Rt为：

lt=12πσ2texp

-R2t2σ2t

继而得出：

MaxlnL=MaxTt=1ln（lt）

=MaxTt=1

-12ln（2π）-12ln（σ2t）-12R2tσ2t

使该公式取得最大值的参数为最佳参数，称作最大似然估值（MLEs）。该方法的优势是当样本大小T趋于无限，最大似然估值会覆盖全部真值，估值的方差是最小可能值。由于现实中无法获得如此大量数据，本文选取2008年金融危机后进行考察。

3.3.2 拟最大似然估计

由于对最大似然估值的假设并不现实，即收益率并不呈正态分布，拟最大似然估值（QMLE）或许是用来预估参数更好的选择。理论上讲拟最大似然估值就是最大似然估值，但即使当正态分布假设不成立时，随着样本趋于无线大，最大似然估值也会得出聚于真实参数的平均参数和方差参数的估值。不过拟最大似然估值通常不如最大似然估值精确，因此本文用理论渐进参数效率换取实际性。如前文所述，本文所取样本MSCI BRIC收益率不呈正态分布，所以偏向于使用拟最大似然估计方法来预估GARCH类模型的参数。

3.4 RiskMetrics模型

RiskMetrics模型又称指数加权移动平均值模型，通过当日预计波动率和观测波动率的加权平均值和当日收益率平方预测下日波动率。公式如下：

σ2t+1=λσ2t+（1-λ）R2t

该模型依赖于预设未知变量λ，操作大大简化。通过λ计算可得，随着时间推移，前个收益率平方权重逐渐降低，即之前的结果越来越不重要，也说明仅需很少的数据便可计算给定波动率。一旦波动率的初始值被找到，需要计算的变量就只有当日波动率和当日收益率平方，而这两个数据在交易日结束便可知晓。94%的λ仅需100个观测样本便可以得出99.8%的波动率数据（Christoffersen，2011）。由于该模型主要通过捕捉短期波动率趋势预估短期结果，缺点是缺乏预测长期情况的能力。本文取λ为94%计算，以2009年1月1日为始，取波动率0.000129390为对数收益率方差。

3.5风险价值

风险价值是用来衡量企业在可能风险的情况下每日/每月获得价值的度量。巴塞尔协议3要求银行根据其1%的日常风险价值持有准备金。风险价值的优势在于其简明性，可以为缺乏相关领域专家的非金融公司提供便利。

本文使用FHS（过滤历史模拟法）进行风险价值估计，其将条件波动性模型（如GARCH）融入历史模拟法中以完善、改进。FHS对于大型投资组合来说是一种合理的方法，在变化的市场条件下预测能力得到保证。

3.6回测方差

在使用通过模型得出的结果之前对模型进行评估十分重要。在Christoffersen的书中提到了一些方法，如似然比检验、自相关诊断检验等。本文使用的回归测试是最广为所用的方法之一，该方法没有条件限制并适用于所有模型。回归方程如下：

R2t+1=b0+b1σ2t+1+et+1

其中R2为平方收益，σ2为通过模型得出的方差，e为误差项。有效的方差预测应无偏差，即截距为0、斜率为1（例如b0=0，b1=1）。（Christoffersen，2011）

3.7回测风险价值

Kupiec检验又称失败频率检验（POF），该检验没有条件限制，可以用来测量在一定时间跨度内例外情况是否与预先确定的水平一致。在模型正确的原假设下，置信水平的失败频率p与观测到的失败频率相等。

原假设为：

H∶p==xT，x为例外情况，T为观测数量。该检验与似然比检验类似：

LRPOF=2ln

（1-）T-xpx（1-p）T-x

LRPOF是自由度为1渐近的χ2分布，为了得到99%和95%的置信水平，本文相应将临界值设为6.63和3.84。如

LRPOF值超出预定临界值，则该模型精确性达不到要求而不适用。尽管该检验被大量使用，但仅当有大量样本时才适用。

4结果

4.1 波动率预测

本文选取σ=0.1，β=0.85，ω（α，β，σ2t）=6.47E06为初始值及最优参数用于GARCH模型的计算，得出对数似然值为4733.211，持续值为0.990478。可以看出MSCI BRIC市场的收益持续较高，说明冲击持续时间较长，冲击后恢复到均值方差所需时间也较长。

通过计算，MSCI BRIC市场收益率成波动态势，新兴市场表现出更多的结构性断裂和更大的冲击。使用两种模型预测波动率结论差异不大，优劣不明显。

4.2 波动率测试结果

表2是基于平方收益计算波动率得出的结果，说明何种模型更适用或全部适用。如前文所讲，b0=0和b1=1是最佳情况。结果表明，R平方结果均相似，GARCH模型优于RiskMetrics模型，但系数较低。在新兴市场GARCH模型更适用。

4.3 风险价值测试结果

作为风险管理者，最重要的是对投资组合风险进行把控，因此波动率预测十分重要。为了解不同模型的表现，本文使用Kupiec检验进行回测，结果如下。

表3包含了使用两种不同模型计算MSCI BRIC指数得出的结果。考虑到1%和5%风险价值，Kupiec检验结果与风险价值模型趋于一致。1%风险价值时，RiskMetrics模型通过FHS预测风险价值优于GARCH模型，与RiskMetrics模型更适用于新兴市场波动率预测的假设相一致（McMillan，2009）。5%风险价值时，GARCH模型通过FHS预测风险价值优于RiskMetrics模型。

5结论

本文检验了两种波动率模型，预测波动率后即可得风险价值，最后通过回测来评价不同模型预测波动率和风险价值的有效性。

综合分析，将GARCH模型作为风险管控技术计算风险价值是具有优势的。如第四部分所述，通过FHS计算风险价值说明GARCH模型对权益资产的评价表现优于RiskMetrics模型，其结果具有鲁棒性。

本研究也存在一定限制。由于无法获得内部数据，本文视平方收益为日常波动率真值而非真实波动率，缺少精确性，无法对波动率作出精确的判断。此外，由于时间和篇幅所限，并未对其他GARCH类模型进行研究。最后，也很难判断斜度和超额峰度的合理大小以及在结果中的作用。

参考文献：

[1]菲利普・乔瑞.风险价值VAR，中信出版社，2010

[2]易聪.论波动率模型，中国金融出版社，2011

[3]Christoffersen，P.Hahn，J.and Inoue，A.（2001）Testing and comparing ValueatRisk measures.Journal of Empirical Finance，Vol.8，325

[4]Christoffersen，Peter&Pelletier，Denis.（2004）Backtesting ValueatRisk：A DurationBased Approach.Journal of Financial Econometrics，Vol.2，84

[5]Christoffersen F.Peter.（2011）Elements of Financial risk management

[6]Kupiec，P.（1995）Techniques for verifying the accuracy of risk measurement models.The Journal of derivatives，73

[7]Linsmeier，Thomas J.and Pearson，Neil D（1996）Risk Measurement：An Introduction to Value at Risk.Working Paper 96

[8]McMillan，D.（2009）Are RiskMetrics forecasts good enough？ International Review of Financial Analysis 18/2009，117