图式理论在面积解题中的应用

在近代心理学史上，格式塔心理学最早在一般理论高度上重视图式.康德图式理论直接影响格式塔心理学，从而使得格式塔心理学排斥经验的作用，强调所谓完形的作用.它的所谓完形是指人的心理的一种整体组织结构.而这种心理组织结构就是图式的一种.利用这种心理完形作用，可以填补问题缺口、出现顿悟、获得知识.格式塔心理学的这种心理组织结构不仅带有先验论的性质，而且在运用这种结构解释客体时仅仅停留在一般的描述上.

在初中阶段，学生分析解决一些数学题目过程中，实际上也在自觉与不自觉地应用皮亚杰的图式理论.比如学生在分析解决一些有关面积问题的题目时就无意识的应用了图式理论在面积解题中的应用.下面我们举例说明：

一、用面积法证明线段相等

例1 如图1，用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是一个特殊的四边形．

（1）这个特殊的四边形应该叫做 ；（2）请证明你的结论．

解析 ：首先可判断重叠部分为平行四边形；再由两条纸条宽度相同，利用平行四边形的等积转换可得邻边相等，则根据菱形的定义可得重叠部分为菱形．

（1）解：菱形.

（2）证明：过点D分别作DEAB ，DFBC垂足分别为E、F,

所以DE=DF（两张纸条宽度相同）,

因为四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形,

所以AB∥CD，AD∥BC.

所以四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.

因为S平行四边形ABCD=S平行四边形ABCD，

所以AB×DE=BC×DF 所以AB=BC.

所以平行四边形ABCD为菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．

二、用面积法证明两角相等

例2 如图2所示，已知ABC和DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC.试说明：OC平分∠BOE.

解析 ：按照正常思维方式，要想证OC平分∠BOE，就要证∠BOC=∠EOC，根据证相等找全等的方法，我们就要想办法构造两个全等的三角形.事实上，这两个角所在的三角形均不全等.怎么办？我们可以先证BCD与ACE全等，然后根据全等三角形的面积相等，可以证明全等三角形对应边上的高相等，从而可以证明CH=CI，再根据到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，就可以证明OC平分∠BOE了.

证明 ：过C作CHBD于点H，CIAE于点I，垂足分别为H、I，

因为ABC和DCE均是等边三角形，所以BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，

所以∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°.所以BCD≌ACE.

所以BD=AE，SBCD=SACE

又因为CHBD，CIAE.所以

1 2BD•CH=

1 2AE•CI

因为BD=AE,所以CH=CI,又因为CHBD，CIAE 所以OC平分∠BOE.

三、用面积法解决实际问题

例3 如图3所示，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为7米，宽为4米，一个人从入口点A处沿着道路中央走到终点B处，他共走了（）

(A) 27.5米 〖WB〗(B) 28米

(C) 28.5米 〖DW〗(D)29米

解析 ：把自己想象成宽为1米的除草机，则你每除草1平方米就走1米长，而整个图形的面积是28平方米，所以你就走了28米，故选(B).

四、用面积法证明含有线段的等式

例4 阅读材料：如图4，ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为

r1,r2，腰上的高为h，连结AP，则

SABP+SACP=SABC. 即：

1 2AB•r1+

1 2

AC•r2= 1 2

AB•h,所以r1+r2=h

（定值）.

（1）理解与应用

如图4，在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且BE=BC，F为CE上一点，FMBC于M，FNBD于N，试利用上述结论求出FM+FN的长.

（2）类比与推理

如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：

已知等边ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边ABC的高为 h，试证明：r1+r2+r3=h（定值）.

（3）拓展与延伸

若正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离为

r1，r2，…，rn,请问

r1+r2+…+rn是否为定值，如果是，请合理猜测出这个定值.

解析 ：（1）连接BF，已知BE=BC，采用面积分割法，根据

SBEF+SBCF=

SBEC，从而得出三角形高的数量关系.

（2）连接PA，PB，PC，仿照面积的割补法，得出

SPBC+SPAC+SPAB

=SABC

，而这几个三角形的底边都相等，故可得出高之间的数量关系.

（3）当问题转化为正n边形时，根据正n边形计算面积的方法，从中心向各顶点引连线，可得出n个全等的等腰三角形，用边长为底，边心距为高，可求出n个全等的等腰三角形的面积，从而可以求出正n边形的面积；然后从点P向各顶点引连线，又可以把正n边形分割成n个三角形，再由点P向正n边形的各条边作垂线

r1，r2，…,rn为高，以边长为底，列出关于面积的等式，就可以证明

r1+r2+…+rn为定值.

解 ：（1）过E点作EHBC，垂足为H，连接BF,

因为BE=BC=3，∠EBH=45°,所以EH=

3 22.

因为SBEF+SBCF

=SBEC,所以

1 2BE×FN+

1 2BC×FM= 1 2

BC×EH.

因为BE=BC,所以FN+FM=EH=

3 2

2.

(2)连接PA，PB，PC,

因为SPBC+SPAC+SPAB

=SABC,

所以 1 2BC×r1+

1 2AC×r2+ 1 2

AB×r3= 1 2

BC×h,

因为BC=AC=AB,所以

r1+r2+r3=h

（定值）.

(3)设正n边形的边心距为r,则：

r1+r2+…+rn=nr

（定值）.

五、用面积法证明比例线段的关系式

例5 如图7，在ABC中有一点O，连接AO、BO、CO并延长分别与BC、CA、AB相交于点D、E、F，求证：

OD AD+

OE BE+ OF CF

=1

.

解析 ：结合图形我们知道所求等式中的比值都含有在两个相同底边的三角形内，因此这三个比值都可以转化为三角形的面积比，从而可以用面积法证明.

证明 ：过点O分别作OGBC，OHAC，OIAB，垂足分别为G、H、I，过A点作AJBC，过B点作BKAC，过C点作CLAB，垂足分别为J、K、L.

所以∠OGD＝∠AJD=90°,所以OG∥AJ,所以DOG∽DAJ,所以

OD AD= OG AJ,

因为SOBC= 1 2OG×BC,SABC

= 1 2AJ×BC

所以 SOBC SABC

=1 2OG×BC

1 2AJ×BC=

OG AF,

所以 SOBC SABC

=

OD AD,

同理

SOAC SABC

= OE BE, SOAB

SABC

= OF CF,

所以 OD AD+

OE BE+ OF CF

= SOBC

SABC

+ SOAC SABC

+ SOAB SABC

= SOBC+SOAC+SOAB SABC

= SABC SABC,

即： OD AD

+ OE BE

+ OF CF=1.

六、用面积法证明两直线平行

例6 如图8，在ABC中，AD为BC边上的中线，M为AD上任意一点，过M作一直线交AB、AC于点E、F，若ME=MF，试证明：EF∥BC.

解析 ：要证明EF∥BC，实际上只要证明

BE AE= CF AF，可以把线段的比转化为面积比就可以了.根据ME=MF，BD=CD可得，

SAEM=SAFM

，SDEM=SDFM ，

SABD=SACD，所以

SBDE=SCDF，从而得到

SBDE SADE

= SDFC SADF

，可得

BE AE

= CF AF

，由平行线的判定就得到EF∥BC.

证明 ：过D点分别作DGAB，DHAC，垂足分别为G、H.

因为ME=MF，所以SAEM=SAFM

,SDEM=SDFM,

因为BD=CD,所以SABD=SACD,

所以SABD-SAEM-SDEM

=SACD-SAFM

-SDFM,

即：SBDE=SCDF,所以

SBDE SADE

= SDFC SADF,

即：1 2BE×DG

1 2AE×DE

=1 2CF×DH

1 2AF×DH

,所以 BE AE= CF AF,

所以EF∥BC.

从上文我们可以发现，学生在应用面积解题时，往往可以把复杂问题简单化.那么在平时的教学中教师就要渗透面积法的知识，让学生在头脑中逐步形成面积图式的概念.

瑞士著名的心理学家皮亚杰非常重视图式概念.皮亚杰认为“图式可以说是认知结构的起点和核心，或者说是人类认识事物的基础.因此图式的形成和变化是认知发展的实质”.皮亚杰理论的两个重要概念是同化和顺应.同化就是把外界的信息纳入原有图式，使图式不断扩大；顺应就是当环境发生变化时，原有图式不能再同化新的信息，而必须经过调整建立新的图式.用皮亚杰的话来说，“刺激输入的过滤或改变叫做同化；内部图式的改变以适应现实叫做顺应”.通过图式的同化作用可以使已有的图式在量上得到丰富和扩充；通过顺应的作用，图式可以发生质的变化.同化和顺应在图式的建构中是相互联系、相互制约、不可分割的.只有通过图式的同化作用，才能发现已有图式不能适应新情况，才能了解对图式作何种调整和改造.因此，没有同化就不会有顺应.自然，也只有经过顺应的作用，才能使图式不断更新，从而创造出新的图式，这时，同化才能在更高的水平上进行.皮亚杰的图式理论虽然也受到康德理论的影响，但他的图式理论已有了崭新的结论和丰富的内容.皮亚杰指出：“认识的获得必须用一个将结构主义和建构主义紧密地连结在一起的理论来说明，也就是说，每一个结构都是心理发生的结果，而心理发生就是从一个较初级的结构过渡到一个不那么初级的（或较复杂的）结构”.