Hollingiv型功能反应函数的脉冲捕食系统定性分析

摘 要： 研究了功能反映函数为Holling-iv型的捕食-食饵系统，对其在脉冲状态下，利用脉冲微分方程的比较原理、Floquet定理等，分析了该系统的解的稳定性与系统的持久性，得到了系统稳定性与持久性的条件。

关键词： Holling-iv型；脉冲；稳定性；持久性

中图分类号： TB

文献标识码： A

文章编号： 16723198（2013）06017603

脉冲现象作为一种瞬时突变现象，在现代科技各领域的实际问题中普遍存在，其数学模型往往可归结为脉冲微分系统。近年来，脉冲微分方程系统的研究不断深入，已经形成一套比较完善的基本理论。脉冲微分方程主要有三类：脉冲发生在固定时刻的脉冲微分方程、脉冲发生在变时刻的脉冲微分方程和脉冲自治微分方程。在种群的模型中，一般讨论脉冲发生在固定时刻的脉冲微分方程，而在讨论的过程中，一般都利用重合度理论、比较定理、Floquet乘子、中心流形、泛函等来研究，研究具有时滞比率依赖的捕食-食饵系统，利用中心流形的方法研究此系统在脉冲作用下解出现分支和混沌的现象；本文研究了具有单调功能性函数的时滞、脉冲基于比率依赖的捕食-食饵系统，运用泛函分析的理论，证明此系统周期解的存在性；等等。

本文主要针对系统（1），研究在脉冲状态下平衡点的稳定性与系统的持久性：

其中X（t）= x（t），y（t） 为系统（1）定义在 0，∞ 上的任意解。

引理1.3 （Floquet判断定理）如果周期系数线性系统的特征方程的根，即系统的特征乘数的模均小于1，则系统是渐进稳定的；若特征乘数中至少有一个模大于1，则系统不稳地；若模为1的特征乘数只有一个，而其余的模均小于1，则系统稳定；若模为1的特征乘数的个数大于1，而其余的模均小于1，则当模为1的特征乘数的代数重数都等于其几何重数时，则系统稳定，否则，系统不稳定。

2 平衡点的全局稳定性

显然，对系统（2）的任意一个解y（t），有 y（t）-y*（t） 0，t∞。

从而我们可以得到主要目的为消灭食饵的系统（1）的周期解为（0，y*（t））。

下面讨论（0，y*（t））的稳定性。

取0

从而可知D+V（t）+lV（t）有界，不仿设上界为K.取适当的l0，则D+V（t）+l0V（t）≤K。

D+V（t）≤-l0V（t）+K t≠nTV（t+）=V（t）+p t=nTV（0+）=V0 。

计算系统

D+u（t）=-l0u（t）+K t≠nTu（t+）=u（t）+p t=nTu（0+）=v0 ，

得

（2）证明m0>0，使得x（t）≥m0，y（t）≥m0，x（t），y（t）为系统（1）的解。

由等式（3）可知，必存在m1>0，T0>0，使得当t>T0时，有y（t）≥m1.下面主要证明存在m2>0，T1>0，使得当t>T1时，有x（t）≥m2。

假设不存在这样的T1，即对任意的m′2>0，t>0，都有x（t）≤m′2.又aT- mp αd >0，所以对任意的m′2>0，ε>0，有aT- mεT α + mp λmm′2-αd >0。

从而

4 结语

本章讨论了具Hollingiv型功能反应函数的脉冲系统的稳定性与持久性，以 为参数，利用稳定性理论和脉冲理论，得到了系统稳定与持久的条件。

参考文献

[1] 王丽敏，脉冲动力系统理论在种群生态学中的应用[D].大连：大连理工大学，2006.

[2]Xiao Hong LI，Chun LU，Xiu Feng DU，Permanence and Global Attractivity of a Discrete SemiRatioDependent PredatorPrey System with HollingIV Type Functional Response[J].Journal of Mathematical Research & Exposition，May ，2010，30（3）： 442450.

[3]Qintao Gan，Rui Xu，Pinghua Yang ，Bifurcation and chaos in a ratiodependent predatorprey system with time delay[J].Chaos，Solitons and Fractals，2009，39：18831895.

[4]王继华，曾宪武.一类具有简化 Hollingiv类功能反应的捕食食饵模型的定性分析[J].数学杂志，2004，24（6）：701705.

[5]陈兰荪，脉冲微分方程理论及其应用[M].北京：科学出版社，2011.