例谈与棱锥相关的三视图解题思路

摘 要：三视图是高中数学新课程新增内容之一，也是高考热点题型。关于三视图，主要有两种考查形式：一是根据给定几何体判断或补画视图，二是由三视图想象出原几何体，进而计算它的面积或体积。

关键词：解题思路

中图分类号：G642 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）17-010-02

三视图是高中数学新课程新增内容之一，也是高考热点题型。关于三视图，主要有两种考查形式：一是根据给定几何体判断或补画视图，二是由三视图想象出原几何体，进而计算它的面积或体积。

笔者在分析第二种考查形式时发现，有一种和棱锥相关的题型，学生理解不到位，且各种参考答案讲解不够详细，导致学生一知半解。因此本文的目的是通过研究高考题，对此类问题详细分析，以期学生透彻领悟其中的缘由。

这类题最大特点有二：第一，给出三视图求原几何体的面积或体积；第二，主视图和左视图都是三角形，而俯视图为三角形或四边形。

在分析此类题目前，有必要搞清楚几个概念。

必备知识

1、三视图

从某一角度观察一个物体时，看到的图象叫做物体的一个视图。视图分为三种：

2、投影

上面提到的投影是正投影，为此我们先理解什么是投影，什么又是正投影。

①投影：光照射在物体上，在其后面屏幕上形成的物体的影子就是物体的投影。

③三视图解题中，关键是理解线的投影规律

3、三视图中的几种关系

①三种视图之间的关系

②三视图与原几何体的关系

例谈解题思路

题型一求体积

例1（2012高考・全国课标，7）如图，在网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

A.6 B.9

C.12 D.18

【分析】①此题主视图、左视图都是三角形，故原几何图形是棱锥。已学知识可知，棱锥的体积 ，故求原几何体体积的关键是确定底面积和高。②因为俯视图是原几何体底面轮廓，故原几何体底面积 ③因为主视图、左视图的高是原几何体的高，原几何体的高 ④故 ，原题选B.

【小结】①棱锥求体积，关键找底面积和高，即 ；② 由俯视图+“长对正，高平齐，宽相等”口诀联合得出；③ 与主视图、左视图高相等

练习1（2009高考，辽宁，理15文16）

设某个几何体的三

视图如下（尺寸的

长度单位为m），

则该几何体的

体积为___m?.

【提示】①底面三角形的高（宽）和左视图宽相等即为3， ；② 和左视图高相等为2；③

题型二求表面积

例2（2012高考・北京，7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）

【分析】求面积关键要确定原几何体形状，即通

过三视图画出原几何体。（为了方便，俯视图标字母后如图8）

首先，确定原几何体底面形状。主视图和左视图均为三角形，故原几何体是棱锥，且棱锥的底面轮廓就是俯视图三角形轮廓，即原几何体是三棱锥，其底面轮廓为ABC，如图9所示

②然后，找出顶点P的位置，三棱锥形状就确定了。由俯视图可知ABC内只有一条线，则顶点在一定在点D或C的正上方（否则，俯视图投影不可能存在线段DC，读者可以举反例验证）；又左视图为直角三角形，且直角在左边，故顶点一定只能在点D正上方（如果顶点P不在D的正上方，则就在C正上方，其左视图一定不是题中的形状，读者可自行举例验证）。因此原几何体如图10所示，再反过来验证其三视图是否如图所示，最终确定是图10

图10中，显然PD平面ABC，线段DC即PC

在底面上的投影，亦即和图8中俯视图上的线段DC是同一条。由主视图可知，DA=2，DB=3，PD=4（三棱锥的高等于主视图高）

此题即转换成，已知一个三棱锥P-ABC中，

DA=2，DB=3，BC=4，PD=4，且ABBC，PD

平面ABC，求此三棱锥的面积

⑤分别求每个面面积，再相加得， ，

即答案选B.

【小结】此类题解题关键

首先，找原几何体，俯视图为底面形状

然后，由俯视图、主视图、侧视图找顶点

A.俯视图内有多条线段：顶点在内部线段交点正上方（如图11所示，顶点一定在点D正上方）

B.俯视图内有一条线段：顶点只有两种情况

（如图12，顶点一定在点D或者B的正上方）

C.俯视图内无线段：顶点在三角形顶点上

（如图13，顶点一定在点A或B或C的正上方）

顶点确定后，逆向验证该猜想是否正确。

再根据三个视图的关系，弄清楚各边数量关系

由三视图求表面积就变成已知一个棱锥和已

知条件，求其表面积的题型

练习2（2009.海南，宁夏，11）一个棱锥的三视

图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm?）为（ ）

【分析】①由图可知，原几何体是三棱锥，底面

是边长为6的等腰直角三角形

②如图15，是俯视图标字母后的图。因为三角形内部只有一条线段，因此三棱锥顶点一定在点D或B的正上方；又结合主视图和左视图可知，顶点不可能在点B正上方，因此一定在点D正上方。

原几何体如图16中，PD平面ABC，PD=4（三

棱锥高等于主视图高），AB=BC=6，ABC为等腰直角三角形；DGBC，且DG=3，同理可知DH=3。题转化成已知上面的条件，求该三棱锥全面积

终选择答案A

练习3 （2011高考北京）某四面体三视图如图17所

示，该四面体四个面的面积中最大的是（ ）

【分析】观察俯视图，三角形内部无线段，故三棱锥顶点一定在三角形三顶点正上方。右分析主视图和侧视图可知，如图18所示，顶点只能在点A正上方，PA平面ABC，PA=4，AB=4，BC=3，且ABBC。分析得PAC的面积最大为10，故选C以上从求棱锥体积和面积两方面举例分析，虽然三视图考察方式灵活多样，但均以课本为基础，对学生空间想象、推理论证、数形结合能力的考察永远不变。希望同学们在平时学习中，多总结多观察，深入透彻的理解每一道题的解题思路，以求以不变应万变。

参考文献：

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