选对方法,事半功倍

一、试题回放

根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2012年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：

该市一户居民在2012年5月以后，某月用电x千瓦时，

当月交电费y元，其图象如下图所示：

（1）上表中，a= ，b= ；（2）请写出y与x之间的函数关系式；（3）试行“阶梯电价”收费以前，该市电价收费标准都是0.60元/千瓦时，该市一户居民6月份缴费与按旧收费标准缴费相差15元，求该居民6月份用电多少千瓦时？

二、试题分析

本题主要考查一次函数与一元一次方程的应用，看似平凡，其实是一道可以用来归纳求解一次函数解析式及应用的常用方法和技巧的好题，对启迪学生思维的灵活性，拓宽学生的解题思路很有帮助。其命题意图是考查学生数形结合、分类的数学思想和方程的思想。学生初读题目，感觉常规，下笔却困难重重，正确率不高。本文以此题为载体，旨在与同行交流如何引导学生在解题中选择合适的方法，达到事半功倍之效。

问题（1）解法如下：a=67.5÷150=0.45，

b=（165-67.5）÷（300-150）=0.65.

点评：我们可以结合本题的表格和图形，寻求两者之间的关系，不超过l50千瓦时，对应图中的第一段折线，超过150千瓦时但不超过300千瓦时的部分对应图中的第二段折线，以此类推。解决此类问题的常规思想和方法是数形结合法，但往往由于涉及的数据较多，计算量大，运算技巧性强，使得许多学生在处理数据时不易算对，对一些非整数数据产生恐惧心理和怀疑态度。本题对考生的思维能力和计算能力要求较高，许多考生初读一遍题后，并未理解题意。有的似乎有些明白，求解a、b的值时，由于计算中数据不能化整，部分学生算出了一个相当复杂的结果，对解题结果没有自信，导致心慌放弃此题。

问题（2）解法如下：当0≤x≤150时，y=0.45x；

当150

当x>300时，y=0.45×150+0.65×150+0.9（x-300）=0.9x-105.

点评：图中的三段折线表明这是个分段函数，分别对应三个一次函数表达式，这是第一难点，有部分学生在这里就出现问题。接着在明确求三个解析式时，不少学生采用了待定系数法求一次函数解析式，方法是可行的，也是一种常规思路，在解决0≤x≤150这一范围时，因为是过原点的正比例函数图象，故直接设y=kx即可求解，但是第二段是不过原点的一次函数图象，由于数据较大且有小数，如果依然采用待定系数法设y=kx+b，再代入解二元一次方程组的话，运算量大，学生不易正确算出，或者算错。大部分的学生失分点就在这里。其实这时运算出现问题时，我们应该及时调整思路，收费标准里明确了用电量与所交电费之间的关系，那么我们就可以寻求其中的相等关系，放弃待定系数法而选用由相等关系列出y与x之间的函数关系式。这也是我们求函数关系式的另一种基本方法，教学中应指导学生适时选择，使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系，从而培养思维的灵活性。

问题（3）解法如下：

当0≤x≤150时，0.6x-0.45x=15，x=100；

当150

x=900（舍去）或x=300；

当x>300时，（0.9x-105）-0.6x=15，x=400.

答：6月份居民用电100度或300度或400度。

点评：第三问能正确求解的学生更是寥寥无几，主要原因是第二问没能正确分类，或分类正确但求解析式的方法不当，没能解得正确答案。而第三个问题是建立在第二问正确求解的基础之上的，所以失分严重。还有很遗憾的是，有的学生分段函数求出了，但对问题中“相差15元”理解不当，出现漏解情况。

三、教学思考

1. 学生在这类数形结合类题目中的主要问题

（1）不能做到细致认真地读题，导致不能正确地理解数与形内在的联系；

（2）不能准确地运用概念理解题意；

（3）在逻辑推理与合理、准确地运算方面实际能力有欠缺。

2.立足课本，夯实基础，挖掘教材的本质与内涵

既要立足于基础知识的掌握，比如正比例函数、一次函数的定义及它们的图象和性质等，又要立足基本思想方法的训练，比如用数形结合思想、方程思想、分类思想等。由此深化对基本概念、性质和基本方法的理解和掌握，重视知识间的内在联系，特别是知识的交会点。同时要指导学生立足课本，重视课本的例题和习题，在此基础之上适当提高。试题源于教材又高于教材，这是考试命题的基本方向，教学中应对每个章节的典型例题作出要求，让学生过关，对解决某一问题的基本方法，比如上题中的求一次函数解析式时，什么时候适用待定系数法，什么时候适用由相等关系列解析式，方法结合题目适时总结归纳上升为结论，让学生明确方法，有章可循。

3.重视知识间的内在联系，渗透数学思想方法

知识可以遗忘，但蕴涵的思想方法却是终身受用的。在数学学习中体验和学会思考问题的基本思想方法，发展数学思维是数学学习的核心目标。数学思想方法的学习必须经历从内隐的体验过程到外显的语言概括过程，再变成内隐的经验的过程。2011版数学课程标准特别强调学生对数学思想方法的掌握，函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想是初中数学中常见的几种思想，在近年的中考中反复出现。数学思想方法的学习很大程度上是通过反思与概括，不可能靠接受的方法获得，必须在教学过程的各个环节中有意识地渗透数学思想方法，引导学生反思总结，切忌就题论题，重在思路分析，通过揭示知识之间的规律以求触类旁通。

4.重视学生阅读理解、运算能力的培养

对数学解题而言，首要的环节就是理解题意，很多学生拿到题目一筹莫展，其根本原因就是没有理解题意。“理解题意”包括两个重要过程：首先要能从问题情境中获取有用信息，其次要对所获得信息进行加工、转化。注重对学生运算能力的培养，注意运算技巧，对运算能力要求较高的，寻求合理的运算途径十分重要。运算能力的提高要靠学生自己算出来，教师要在平时教学中训练学生敢算、耐心算，努力做到算一题，对一题。解完题后引导学生对题目认真反思，没有反思，就没有知识的内化和能力的提高。反思题型有何特征，解法有何规律，哪些地方容易出错，要注意什么，有哪些解法，哪些方法简便，特别强调，解题时优选方法可事半功倍。