实际问题中的一次函数的图像

时间:2022-08-23 03:28:43

实际问题中的一次函数的图像

我们知道,在一般情况下,一次函数y=kx+b(k、b为实数,且k≠0)的自变量x的取值范围是全体实数,函数在平面直角坐标系中的图像是一条直线.但是,在实际问题中,自变量的取值常常受到一定的限制,导致函数的图像发生变化,由直线变为其它图形.

一、图像变成射线

例1甲、乙两地相距20千米,汽车从甲地出发到乙地去,到达乙地后继续以每小时60千米的速度向前行驶,求汽车行驶t小时后与甲地距离S(千米)之间的函数关系式,并画出函数的图像.

解由题意得,S=60t+20,其中t≥0.

当t=0时,S=20;

当t=1时,S=80.

以A(0,20)为端点,作射线AB,使它经过点B(1,80)(如图1),则射线AB为所求函数的图像.

【评注】当自变量x≥a(或x≤a,a为实数)时,函数y=kx+b的图像是一条射线.特别地,当自变量x>a(或x<a)时,函数y=kx+b的图像不包括射线的端点,此时,射线的端点画成空心圆圈.

二、图像变成线段

例2柴油机开始工作时,油箱中有油60升,工作时每小时耗油5升,求油箱的余油量Q(升)与工作时间t(时)之间的函数关系式,并画出该函数的图像.

解由题意得,Q=-5t+60,其中0≤t≤12.

当t=0时, Q=60;

当t=12时,Q=0.

以点A(0,60)、B(12,0)为端点作线段AB(如图2),则线段AB为所求函数的图像.

【评注】当自变量x的取值满足x1≤x≤x2(x1<x2)时,函数y=kx+b的图像是一条线段.特别地,当x1<x<x2时,函数y=kx+b的图像不包括线段的端点,此时,线段的端点画成空心圆圈.

三、图像变成离散的点

例3小敏带3元钱去文具店买圆珠笔,已知每支圆珠笔的售价为0.25元,试写出所剩钱数y (元)与购买的圆珠笔的支数x (支)之间的函数关系式,并作出函数图像.

解由题意得,y=3-0.25x,其中0≤t≤12 ,且x为整数.

显然,y与x之间的对应关系可用下表表示:

在平面直角坐标系中,描出表中各组对应值所对应的点(如图3),则这些离散的点组成的图形就是所求作的函数图像。

【评注】当自变量取一些离散的值时,函数y=kx+b的图像是一组离散的点。

四、图像变成折线

例4小丽的爷爷晚饭后出去散步,从家中出发走20分钟到达一个离家900米的报亭,看了10分钟报纸后,用15分钟返回家中,请写出小丽的爷爷离家的距离S(米)与时间t (分)之间的关系,并画出函数图像.

解设小丽的爷爷去报亭的速度为x1米/分 ,回家的速度为x2米/分,根据题意,得

x1 =900/20=45, x2=900/15=60.

所以当0≤t≤20时,S=45t;当20≤t≤30时,S=900;当30≤t≤45时,S=900-60×(t-30),即S=2700-60t.

在平面直角坐标系中画出折线OABC(如图4),则所画折线为所求函数的图像.

【评注】当自变量在不同范围内取值时,所对应的函数不是同一个函数,而是一个分段函数,此时作出的图像为折线.

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