基于格子Boltzmann方法的一维Burgers方程的数值模拟

摘要：

基于格子Boltzmann方法（LBM）的一维Burgers方程的数值解法，已有2bit和4bit模型。文中通过选择合适的离散速度模型构造出恰当的平衡态分布函数； 然后， 利用单松弛的格子BhatnagarGrossKrook模型、ChapmanEnskog展开和多尺度技术， 提出了用于求解一维Burgers方程的3bit的格子Boltzmann模型，即D1Q3模型，并进行了数值实验。实验结果表明，该方法的数值解与解析解吻合的程度很好，且误差比现有文献中的误差更小，从而验证了格子Boltzamnn模型的有效性。

关键词：格子Boltzmann方法； Burgers方程； ChapmanEnskog展开；3bit格子；格子BGK模型

中图分类号：TP391.9

0引言

在流体动力学中，非线性对流扩散方程——Burgers方程是不可压缩的NaiverStokes方程忽略压力项后的一类简化模型，用于描述诸多物理现象的数学模型，如交通流问题、冲击波模型、湍流问题等。然而，对于较小的黏性系数来说，非线性对流项将会占据主导作用，进而解会随时间的推移产生激波，导致求得的解析解是不切实际的，因此，研究Burgers方程的数值解是十分有意义的。基于此，众多科学工作者对Burgers方程提出了许多数值方法，如Galerkin方法[1-2]、有限差分法[2-6]，此外，还有B样条配置法[7-9]、B样条Galerkin方法[10]、B样条有限元法[11]等。但是，在通常情况下， 由于Burgers方程的有限元格式和有限差分格式的自由度很大，因此这将在实际应用中带来很大的麻烦。本文的目的是，能在减少计算量和存储空间的同时，又能使其数值解具有较高精度的前提下，可以利用格子Boltzmann方法（Lattice Boltzmann method，LBM）的3bit模型来计算Burgers方程的数值解。

3结语

通过对以上三个实例的数值模拟结果分析，可以看出本文的LBM在求解一维Burgers方程方面上，可以给出比较精细的数值解，且与解析解吻合的程度较高；利用两个L2和L∞范数误差对比分析可知，本文的LBM的误差比其他文献方法的误差较小，因此，可以证明本文的LBM在数值的精确性效果上更好，得出本文的格子Boltzmann方法对于求解一维Burgers方程是有效可行的。

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