审视“动手操作”与“数学实验”的分野

【摘要】动手操作和数学实验两者之间既有联系又有区别。区别它们的形态，厘清它们的关系，把握它们在学生学习过程中的发生机制和引领价值，是实现课程理念到教与学方式转变的必要手段。

【关键词】数学实验；动手操作；技能；认知；学习方式

【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）09-0028-03

【作者简介】武建军，江苏省连云港市墟沟中心小学（江苏连云港，222042）副校长，高级教师，江苏省数学特级教师。

苏教版小学数学教材将动手操作作为教材编写的一大特色，选取了适合学生观察、操作、实验、归纳的活动素材，让学生在“做数学”的过程中发现数学规律，获得数学结论。同时，还将数学实验引入课堂教学，以内容的“可视化”促进学生数学思维的发展，使学生在“再实验”“再创造”的过程中积累数学经验。因此，对二者进行意义解构，有助于认识它们的基本内涵，甄别它们的区别，使之更好地服务于教材应用和课程实践。

一、内涵解构：厘清动手操作与数学实验的基本要义

笔者按照“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个内容领域，从“利用学具动手操作”“结合情景演示操作”“不需要操作”三个维度，对苏教版小学数学十二册教材进行了分类和统计。统计表明，十二册教材中需要学生动手操作的有87项，占比近55%；需要学生借助学具动手操作的有65项，占比近41%；四个领域均有动手操作的内容。由此可见，动手操作在教材中占据着重要的位置。从数学实验视角出发，教编人员配合数学教材编写了《数学实验手册》，拟定了137个实验课题，聚焦丰富的“动手做”数学素材，精心设计了数学实验过程，为数学实验的开展提供了参考。笔者认为，认识动手操作和数学实验的本质特征，是教师正确使用教材和解决课程实践问题的关键。

1.从教学内涵来看。动手操作与数学实验都是数学活动的基本形式，需要学生在“做中学”。其中，利用一定的操作工具、实物材料和技术手段来实现素材的数学化是其共同特点，借助数学直观使学生积累数学活动经验、促进数学理解、培养数学思维是其共同目标。动手操作是以学生自主参与为主，学生综合运用数学知识和方法解决问题，侧重于“用”；数学实验则是在数学思想与数学理论的指导下，学生通过对实验素材进行数学化的操作来解决问题，侧重于“学”。

2.从教学特点与功能来看。动手操作与数学实验都是以问题为载体，以学生为主体，具有直观性与应用性。动手操作的内容具有普遍性，数学实验的内容具有确定的指向性；动手操作具有实践性和开放性，而数学实验还具有操作性、反复性和探索性。

3.从教学目标指向来看。动手操作与数学实验都着眼于学生“动手做”学习方式的建立。动手操作目标指向不是很明确，重在实践，注重与生活实际以及其他学科知识间的联系；数学实验目标指向明确，注重实验结果和实验结论。

4.从教学问题设置来看。动手操作与数学实验都设有一定的问题情境。动手操作给出问题情境，设置具有可操作性的问题或给出操作方案，学生根据要求实施即可；数学实验给出问题情境，设置递进式或并行式问题，一般要求学生先估测或猜想，然后收集数据，并进行一定的操作来验证。

二、形态解构：辨别动手操作与数学实验的运行方式

从认知心理学理论出发，动手操作和数学实验在组织结构上具有相似的特征。认知的发生具有动力学机制，学生在不同的活动模式中将形成不同的学习心理，建构不同的学习范式，呈现不同的个性差异。

动手操作模型的教学实施一般分为以下几个步骤（如图1）：明确问题―操作思考―建立模型―解决问题―反馈应用。其中，操作是外因向内因转化的关键，是认知结网的纽带，学生将通过操作经验的积累和素材的数学化理解构建个体操作经验系统。

数学实验模型的教学实施一般分为以下几个步骤（如图2）：提出问题―动手实验―验证结果―拓展运用。实验是整个模型的核心，涵盖素材的选择、结论的得出以及规律的揭示。实验以情境的方式，将知识与身体、自我、经验、行动等融合，促进知识转化及其螺旋动态的生成，构建学生的经验系统。

综观以上两种模型，两者都是基于儿童“动手做”学习经验的建构，都体现了观察与直觉经验、表象与原型经验、表征与心向经验、迁移与再造经验的一致性，因此可将两者融为一体来运行。

三、功能解构：激活动手操作与数学实验的发生机制

动手操作与数学实验是动态数学观视域下的具体呈现形式，立足于“做、思、学”的功能解构，它们又具有不同的发生机制。

1.学习认知视域下动手操作的发生机制。

[案例1]教学北师大版二上“4×7”（如图3）

教学时，从乘法的意义切入，可以有两种教学方式：一是引导学生以和与积转化的形式表示出7个4或4个7的和，写作4×7或7×4；二是应用7的乘法口诀得出答案。

从学习认知视域可以这样设计教学方案：（1）提供操作材料（一块间隔距离相等的钉子板）。（2）引导学生用两种方法在钉子板上摆出4×7（如图4和图5）。（3）引导学生说出图形表达的意义。（4）引导学生写出相应的乘法算式和加法算式。

传统教学观认为，知识是信息源之间的过渡式传递，知识掌握是传授者的倾注与受教者的输入，听和接受是学生学习的主要形式。而学习认知视域下动手操作的学习方式完全不同，它以操作、思考、探究为学生的主要学习方式。从学生数数开始，到摆出图形，学生直观地感受钉子数的排列，建立“数”与“形”的直觉，并从“数”与“形”中抽象出算式，完成从生活事实到数学事实的过渡。其中，既包含感知觉的获得，也蕴含着抽象、概括等经验的组合，学习得以发生。

2.具身J知视域下数学实验的发生机制。

[案例2]数学实验“分割长方体”

（1）将三个表面涂色、体积不同的长方体依次分割成10、12、48个棱长为1cm的小正方体（如图6）。（2）猜想：1个面、2个面、3个面涂色的小正方体各有多少个？（3）用表格记录每个长方体分割后1个面、2个面、3个面涂色的小正方体的数量。（4）验证：用字母表示发现的规律，并在例题中验证。

具身认知理论认为：认识依赖于来自身体各种不同感受器的多样的经验。以此为基础，可以从三个维度解析数学实验的发生机制：（1）数学实验与身体构造的关系。在上述案例中，操作、猜想、验证是动作与思维的融合，三次分割长方体，逻辑层次明显，变式学习充分，学生的操作使身体、神经、感官和运动系统都参与其中。（2）数学实验与情境的关系。在上述案例中，学生分割长方体，猜想分割后不同面涂色小正方体的个数情况，然后填表并归类，逐步剥离操作技能，趋向发现规律的智慧技能。学习的场景、语境等成为学生认知建构的重要组成部分。（3）数学实验与行动的关系。上例教学流程体现了知识的生成性，特别是动作技能向认知思维的过渡，体现了学科知识与个人经验的融合，具有认知发生的动力学机制。

四、过程解构：建立动手操作与数学实验的关联坐标

动手操作和数学实验具有相同的情境与不同的结构，学习进程中包含了数学应用意识和数学素养的成分。

1.以应用意识为原点，构筑动手操作与数学思维的二维空间。

[案例3]苏教版六下“圆柱和圆锥”单元的“动手做”内容（如图7）

数学应用意识是应用数学知识、思想方法的心理倾向，是用数学知识、方法、思想尝试解决现实情境产生的问题的意识。上述案例中，立足于“求土豆体积”的情境，学生通过观察、测量、记录、计算等实际操作解决问题。学生认识到，土豆的体积与容器中水的高度有关，把土豆放入容器后，水升高的体积就是土豆体积。情境体现了动手操作在数学应用中的作用：首先，将生活实践作为学生认知的基点，应用生活素材的感性体验，使外在现象在学生内源性思维活动的参与下形成“物质原型”与“数学原型”的关系性链接。其次，深入学科内部理解知识内涵，将土豆的体积与水的体积“同积转化”，使“做”与“思”对接。最后，突出数学活动的意义，物化操作能形象地反映数学原理，实现认知和经验的共生。

2.以数学素养为坐标，确定数学实验与关键能力的对应关系。

[案例4]苏教版四下《三角形边的认识》

教师提供四根小棒，分别长8cm、4cm、5cm和2cm。让学生任意选三根小棒，试着围一个三角形。

教师改编教材，设计成数学实验：（1）提供一根长度为12cm的小棒。（2）请学生将小棒剪成三段（小棒长度为整数）。（3）用剪好的小棒围三角形。（4）探究：哪些长度的小棒围成了三角形？哪些没有围成？将数据列出来。（5）在实验过程中你有什么发现？（6）总结能围成三角形的三根小棒之间的关系。

教材内容是提供四根小棒，让学生选出三根围三角形，数据有限，不具有普适性。改编成数学实验后，体现了活动与能力的组合。测量、分割、围图、分类、整理数据、发现规律、验证结论等行为，使学生形成了在数学思维参与下的能力结构模式。以分小棒为认知起点，以围三角形为逻辑主线，通过比一比和试一试，促使学生的直觉思维与数学抽象建立起联系，使数形结合思想在操作与计算能力的形成过程中得以充分体现。整个活动是认识和方法的综合，有助于学生数学素养的培养，其中的每一个细节又对应操作、比较、分析、抽象、推理、概括等关键能力，是建构学生“动手做”数学能力的价值坐标。

动手操作与数学实验作为学生的数学学习方式，强调以“动手做”为载体，既有内容与方法上的一致，也有内涵与功能上的差异，在教学实践中要将两者有机融合。

注：本文@2016年江苏省“教海探航”征文竞赛一等奖，有删改。