“面积”不一定是面积

“面积”不一定是面积

江苏省海门市冠今中学(226100)董书生

一、油膜法实验中的“面积”就是面积

图1例1在做“用油膜法估测分子的大小”实验中，油酸酒精溶液的浓度为每104 mL溶液中有纯油酸6 mL.用注射器测得1 mL上述溶液中有液滴50滴.把1滴该溶液滴入盛水的浅盘里，待水面稳定后，将玻璃板放在浅盘上，在玻璃板上描出油膜的轮廓，随后把玻璃板放在坐标纸上，其形状如图1所示，坐标中正方形小方格的边长为20 mm.求：(1)油酸膜的面积是多少?(2)每一滴油酸酒精溶液中含有纯油酸的体积是多少?(3)根据上述数据，估测出油酸分子的直径是多少?

解析本实验采用使油酸在水面上形成一层单分子油膜的方法，估测分子的大小.如果油酸分子可以大致看做球形，油膜的厚度就是分子的直径.在计算油膜面积时，油膜所占的小方格，小于半个舍去.最后根据1滴油酸的体积V和油膜面积S就可以算出油膜的厚度(D=VS)，即油酸分子的尺寸.其线度的数量级为10-10m.我们可以用不同的方法估测分子的大小.用不同的方法测出的分子大小并不完全相同，但是数量级是一致的.除了一些高分子有机物之外，一般分子直径的数量级约为10-10m.10-10m是一个极小的数，

(1)数轮廓包围方格约58个.则油酸膜的面积S＝58×(2×10-2)2m2＝2.32×10-2 m2.(2)每滴溶液中含纯油酸的体积V＝150×6104mL＝1.2×10-5 mL.(3)油酸分子直径d＝VS=1.2×10-5×10-62.32×10-2m＝5×10-10 m.

二、力学v-t图中的“面积”为位移

例2总质量为80 kg的跳伞运动员从离地500 m的直升机上跳下,经过2 s拉开绳索开启降落伞,如图2所示是跳伞过程中的v-t图象,试根据图象估算14 s内运动员下落的高度 (g取10 m/s2)

图2图3解析由v-t图中可知，运动员在14 s内速度是非线性变化，我们只能通过由面积估算得出运动员在14 s内下落的高度：即每格2×2=4 m，共计40×4=160 m.（如图3）

通过该题，我们知道了在v-t图象中，速度图象与t轴所夹的面积表示位移大小.其实图象中的“面积”应用很广泛，不仅限于v-t图中，在运动学、电学、热学中都会涉及到.下面我们就分别从运动学、电学、热学中分别来探究.

三、电学中I-t图中“面积”为电量

例3如图4甲所示，一边长L=2.5 m、质量m=0.5 kg的正方形金属线框，放在光滑绝缘的水平面上，整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度B=0.8 T的匀强磁场中，它的一边与磁场的边界MN重合.在水平力F作用下由静止开始向左运动，经过5 s线框被拉出磁场.测得金属线框中的电流随时间变化的图象如图4乙所示，在金属线框被拉出的过程中.(1)求通过线框导线截面的电量及线框的电阻；(2)写出水平力F随时间变化的表达式；(3)已知在这5 s内力F做功1.92 J，那么在此过程中，线框产生的焦耳热是多少？

图4图5解析(1)法一：根据q=It，由I-t图象得：q=1.25 C.法二：由I-t图象中电流与时间所夹面积得：q=(0.5×5)/2=1.25(C)（如图5）.又根据I＝ER＝ΔφRt=BL2Rt,得R=4Ω.(2)由电流图象可知，感应电流随时间变化的规律：I＝0.1t.由感应电流I=BLvR，可得金属框的速度随时间也是线性变化的，v=RIBL=0.2t.线框做匀加速直线运动，加速度a=0.2 m/s2.线框在外力F和安培力FA作用下做匀加速直线运动， F-FA=ma,得力F＝（0.2 t＋0.1）N.⑶ t＝5 s时，线框从磁场中拉出时的速度v5=at=1 m/s,线框中产生的焦耳热Q=W-12mv25=1.67J.

我们发现在线性变化下，平均值法和面积法都很适用，如果非线性变化下怎么办？如图6所示，该如何求5 s内通过线框导线截面的电量？

图6图7解析只能用面积法，q=77×0.05×0.5=1.925C.（如图中阴影部分）

通过本题探究，我们发现在I-t图中电流随时间的变化图象与 t轴所夹的面积表示电量的增加.这在电学中解决电学量非线性变化时提供了一个求解的方法.

四、热学p-V图中“面积”为做功

例4如图8所示为一定质量的某种理想气体由状态 A 经过状态 C 变为状态 B 的图象，下列说法正确的是 （ ）.

图8图9A．该气体在状态A时的内能等于在状态B时的内能

B．该气体在状态A时的内能等于在状态C时的内能

C．该气体由状态A至状态B为吸热过程

D．该气体由状态A至状态C对外界所做的功大于从状态C至状态B对外界所做的功

图10解析如图10在A点pAVA=1.4×1=1.4，在B点pBVB=0.4×3.5=1.4, pV/T=恒量，故TA=TB ，UA=UB，选A排除B.从A到B，一直对外做功，由ΔU=W+Q, 可知，状态A至状态B为吸热过程.故C对.对于D选项可以用面积来表示对外做功的多少，从A到C面积约占5格（如图9）.从C到B面积约占10格（如图10）,不难看出从A到C对外做功比从C到B做功多，故D错.

通过本题的探究，我们发现在P-V图中压强随体积的变化图象与体积所夹的面积表示对外做功的多少，这在热学中解决压强非线性变化下物体对外做功提供了一个求解的方法.

综上所述，图象中的“面积”在运动学、电学、热学中均有体现， 尤其对题目中涉及某个物理量随另一个物理量非线性变化时，可以采用类比的思想使物体的复杂过程变得简单明了.这种思维方法在物理解题过程中非常重要的.(收稿日期：2014-01-01)