“华约”数学考试概率试题分析及备考对策

【摘要】真题1 ？摇（2012年“华约”试题）系统内有2k-1个元件，每个元件正常工作的概率为p，若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，求系统正常工作的概率Pk，并讨论Pk的单调性. 分...

摘 要：“华约”概率试题的考试题型基本趋于稳定，逐渐成熟，且具备以下特点：1. 注重数学知识和其他学科知识的整合；2. 注重概率问题和其他数学知识的综合；3. 注重对概率问题发生过程以及处理概率问题的基本方法进行考查等特点. 概率备考中，建议平时下工夫，做到厚积薄发，举一反三，触类旁通.

关键词：概率；“华约”；自主招生

连续三年的“华约”联盟考试AAA测试，都是由相关部门出题和阅卷，根据前几年的考试形式，我们预测2013年的考试形式会进一步向全国高中数学联赛靠拢，并且考试的题型、风格、难度都不会有太大变化. 连续三年，“华约”的选择题依旧是10道，涉及的也是和以前一样的知识点：三角函数、函数、数列、复数、立体几何、解析几何、平面几何、组合问题. 这些题目都比较全面地考查了学生的知识能力、解题方法以及思维深度，有利于高校选拔人才，同时，概率问题也成为“华约”考试中的常客，而且三年的三道概率解答题都有一定的难度.

预测2013年“华约”考试中，概率问题应该会继续受到自主招生命题的青睐，所以有针对性地对概率问题进行备考复习，应该会收到很好的效果. 下面我们就对三年考试的概率试题做深度的分析，以便考生在以后的自主招生备考中有的放矢，事半功倍！

真题解析

真题1 ？摇（2012年“华约”试题）系统内有2k-1个元件，每个元件正常工作的概率为p，若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，求系统正常工作的概率Pk，并讨论Pk的单调性.

分析与解

解法一：通过组合数C的变形，寻找出Pk+1与Pk的关系.

显然Pk=C（1-p）np2k-1-n.

因为C=C+C=（C+C）+（C+C）=C+2C+C，所以Pk+1=C（1-p）np2k+1-n=（C+2C+C）（1-p）np2k+1-n=C（1-p）np2k+1-n+2C（1-p）np2k+1-n+C（1-p）np2k+1-n

=C（1-p）np2k+1-n+2C（1-p）n+1p2k-n+C（1-p）n+2p2k-1-n

=C（1-p）np2k-1-n[p2+2（1-p）p+（1-p）2]+C（1-p）kpk+1-C（1-p）k+1pk=C（1-p）np2k-1-n+C（1-p）kpk[p-（1-p）]

=Pk+C（1-p）kpk（2p-1），

因此当p>时，{Pk}递增；当p

解法二：通过事件发生的过程，寻找出Pk+1与Pk的关系.

显然Pk=C（1-p）np2k-1-n，注意到前2k+1次的概率是前2k-1次成功k+1次的概率加上前2k-1次成功k次而后两次有且只有一次成功的概率以及2k-1次成功k-1次后两次都成功的概率，于是有

Pk+1=Pk-Cpk（1-p）k-1+Cpk（1-p）k-1[1-（1-p）2]+Cpk-1·（1-p）kp2

=Pk-Cpk（1-p）k+1+Cpk+1（1-p）k

=Pk+Cpk（1-p）k（2p-1）.

因此当p>时，{Pk}递增；当p

试题点评

本题是二项分布概率模型，主要考查了二项分布概率求解公式以及公式的变形应用.本题还重点结合了组合数的拆分，这也是本题的难点所在.解法一中，C=C+2C+C的变形，主要是为了寻找Pk+1与Pk的关系，进而比较它们的大小. 解法二主要是利用事件发生过程的内部关系，寻找前2k+1次的概率Pk+1与前2k-1次成功k+1次的概率Pk之间的递推关系，达到解题的目的，这也是解决概率问题的常见方法.

因此本题比较全面地考查了学生对组合数、组合恒等式以及概率递推关系等知识的掌握水平，比较全面、深刻地考查了学生对概率的认识，是一道不错的概率题.

真题2 （2011年“华约”试题）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以Pn表示未出现连续3次正面的概率.

（1）求P1，P2，P3，P4；

（2）探究数列{Pn}的递推公式，并给出证明；

（3）讨论数列{Pn}的单调性及其极限P，并阐述该极限的概率意义.

分析与解

本题有一定的难度，要求考生有较强的推理能力，但利用第一问的结果，可以找到求P递推公式的方法.

（1）P1=1，P2=1，P3=1-··=，当连续抛掷4次时，出现连续3次正面的可能情况是（正正正反）、（反正正正）、（正正正正），因此P4=1-3·4=.

（2）可以借助前n-1次、前n-2次、前n-3次，以及前n-4次未出现连续3次正面的概率推导出前n次未出现连续3次正面的概率Pn.

解法一，记前n-1次未出现连续3次正面的概率为Pn-1，

（ⅰ）若第n次为反面，则前n次一定没有连续3次正面，满足题意.

（ⅱ）若第n次为正面，则考虑前n-2次的情况，记前n-2次未出现连续3次正面的概率为Pn-2.

①若第n-1次为反面，又第n次为正面，则前n次一定没有连续3次正面，满足题意；

②若第n-1次为正面，则考虑前n-3次的情况：记前n-3次未出现连续3次正面的概率为Pn-3，（a）若第n-2次为反面，又第n-1次为正面，第n次为正面，则前n次一定没有连续3次正面，满足题意；（b）若第n-2次为正面，又第n-1次为正面，第n次为正面，则不满足题意.

除上述之外，再无其他情况. 综上所述，Pn=Pn-1+Pn-2+Pn-3.

解法二，记前n-1次未出现连续3次正面的概率为Pn-1，前n-4次未出现连续3次正面的概率为Pn-4，则前n次未出现连续3次正面的情况是前n-1次未出现连续3次正面的情况下，减掉第n次后可能出现连续3次正面的情况. 而在前n-1次未出现连续3次正面的情况下，第n次后出现连续3次正面的情况为第n次、第n-1次和第n-2次均为正，且第n-3次为反面. 所以，Pn=Pn-1-Pn-4.（其实利用法一的结论Pn=Pn-1+Pn-2+Pn-3，也可以很方便地推出Pn=Pn-1-Pn-4）

（3）由Pn=Pn-1-Pn-4知，PnPn-1，所以Pn=Pn-1-Pn-4

试题点评

本题的难点在于数列{Pn}递推公式的探究和证明，两种解法都从事件发生的内部过程给出了Pn的递推关系，和真题1的解法二有异曲同工之妙，另外本题的两种解法，也比较深刻地考查了分类讨论思想，对学生解决综合知识综合能力有较高的要求.

真题3 （2010年“华约”试题）假定亲本总体中三种基因型式：AA，Aa，aa的比例分别为u∶2v∶w（u+2v+w=1），且数量充分多，参与的亲本是该总体中随机的两个.

（1）子一代中AA，Aa，aa所占比例分别为多少？

（2）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由.

分析与解？摇

？摇（1）父亲的基因有AA，Aa，aa三种情况，母亲的基因也有AA，Aa，aa三种情况，故搭配起来共有9种情况，列表如表1.

把每行数据相加可得AA∶Aa∶aa=（u2+2uv+v2）∶（2uv+2uw+2v2+2wv）∶（v2+2vw+w2）=（u+v）2∶2（u+v）（v+w）∶（v+w）2，这就是子一代三种基因型的比例.

（2）设u+v=x，v+w=y，上式即为x2∶2xy∶y2，且x+y=1，由于x2+2xy+y2=1，将x2，xy，y2分别看成u，v，w，则由（1）的结论可知子二代为AA，Aa，aa的比例为

（x2+xy）2∶2（x2+xy）（xy+y2）∶（xy+y2）2=x2（x+y）2∶2xy（x+y）（x+y）∶y2（x+y）2=x2∶2xy∶y2. 故子二代与子一代比例相同.

试题点评

本题考查的概率问题与生物学有密切关系，凸显了自主招生考试注重数学知识和其他学科的整合，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力.

另外，列表法是学习和解决概率问题的原始方法，在这里通过列举将搭配情况逐一枚举，可以让我们清晰地获知子一代的三种基因的数据，从而求得要求的比例关系.

本题第二问是生物学中的一个重要规律，现在用数学的方法加以证明，也体现了数学作为基础学科，在生物学等其他学科中解决问题的重要工具的作用.

“华约”概率试题综合分析

从2010年到2012年三年“华约”概率试题的分析中，我们不难看到“华约”概率试题的考试题型逐渐成熟，基本趋于稳定，而且具备以下特点：

1. 注重数学知识和其他学科的整合

2010年的题目注重和生物学的整合，2006年的清华自主招生中出现了概率和物理的综合题目，近几年各高校的自主招生题目都很注重这方面的综合考查，这也成为概率题出题的一个基本方向和基本模式，预计今后还将延续这一思想.

2. 注重概率问题和其他数学知识的综合

上述试题中体现了和二项式系数、组合恒等式以及递推数列的综合，基于递推数列背景的概率问题近年来一直受到自主招生考试的青睐，能更准确、更全面地考查学生对这些问题的掌握情况；基于二项式定理、组合恒等式的概率问题也是这些年自主招生和高考的重点之一，其实，排列组合和二项式定理一直是概率问题中的重点知识，这些内容的综合对学生的能力均有较高要求.

3. 注重对概率问题发生过程以及处理概率问题的基本方法的考查

上述三题中用到的列举法、递推法，以及二项式系数的变形等都是处理概率问题的基本方法. 列举法是处理概率问题最根本的方法，但同时又是学生最容易遗忘的方法，有时列举法在解题中能起到事半功倍的效果. 从概率问题的发生过程寻找递推关系也是一种常用方法，对于较复杂问题，寻找相邻两项或者几项之间的递推关系特别有效. 因此，在学习和处理概率问题时，要特别注意这些方法的尝试.

总之，概率问题作为自主招生考试的宠儿，我们必须认真重视，且要注重解题方法的总结，解题能力的培养，以及数学素养的提高.