一道面积题的多种解法

摘 要：面积问题，从小学到中学乃至大学的学习与考试中一直在出现，它是数学最基本的问题之一. 本论文主要讲解了一道面积问题的初等解法和高等解法，并将这些解法进行了比较，做出了小结.

关键词：面积问题；初等解法；高等解法

笔者在《挑战智力水平的150趣题》（皮埃尔・贝洛凯 著）一书中，看到一道求面积的题，题目如下：

曲尽其妙■

曲线图形比直线图形更加微妙.你能不能计算出图1中那个曲边正方形的面积？这个曲边正方形是由四条以大正方形顶点为圆心的四分之一圆弧所围成的，正方形的边长是1.

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图1

在此笔者给出所想到的三种解法：

■初等解法

1.？摇初中解法

首先明确：S曲边正方形=S大正方形-4（S1+S2）（？鄢）.

这里S1表示底部“山形”图形■的面积；

S2表示“锥形”图形■的面积.

事实上，如图2所示，易证：ABC是等边三角形，且C点以上的阴影部分和C点以下的阴影部分是全等的.

所以S1=S矩DEGF-■S圆-SABC=1×1-■-■-■=1-■-■.

结合图1，可知：S2=S正方形-■S圆-2S1=1-■-2×1-■-■=-1+■+■.

将S1和S2代入（*）中，得S曲边正方形=1-■+■.

2.？摇高中解法

如图3所示，S曲边正方形=S正方形EFGH+4S3？摇 （**）.

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图3

这里S3表示图中阴影部分的面积，且S3=S扇形GAH-SGAH. 易知：∠GAH=30°，故S扇形GAH=■，SGAH=■AG・AH・sin30°=■，从而S3=■-■.

S正方形EFGH=GH2，在GAH中，根据余弦定理，有：

GH2=AG2+AH2-2・AG・AH・cos30°=2-■.

将S3和S正方形EFGH代入（**）式，得S曲边正方形=1-■+■.

■高等解法

许多省市在高中数学教材中，已添加了定积分和其几何意义的相关内容，以下内容便展示了利用这一高等方法求解此题的过程.

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图4

如图4所示，建立平面直角坐标系，可知：S曲边正方形=4S4. 这里S4就是图中的阴影部分，即B：x+■2+y+■2=1在第一象限的面积. 令y=0，得与x轴正半轴的交点为■，0.

故S4=■■-■dx=■■dx-■.

查积分表可知：■■dx=■・■+■arcsin■+C，再利用牛顿-莱布尼兹公式，得：S4=■■+■arcsinx+■■-■=■-■+■. 所以S曲边正方形=4S4=1-■+■.

■小结

面积问题，在从小学到中学乃至大学的学习与考试中一直在出现，它是数学最基本的问题之一，也是最具趣味性的数学问题. 它最能让人直观地理解数学，因为这类问题一般都具有图形的优美性、对称性和规律性.

一道好的面积问题，应能体现数学的思想与方法，其求解绝不是仅仅利用已知的面积公式，往往还需要综合运用数学知识，需要拥有科学的思维方法和清晰的思维层次，甚至有时需要把握有限与无限、特殊与一般、变形与化归以及形式多样的转换策略.

对于这道题的求解，初等解法显得比较巧妙，因为他们都关注到了图中的等边三角形及特殊的角度，很好地运用了“割补法”这一求解面积最基本的变形转换策略，并结合了其他的一些数学知识. 初中解法运用图形的全等和整体减去部分（即“割”）的方法，高中解法运用了余弦定理和整体加部分（即“补”）的方法.

高等解法则运用了定积分的几何意义进行求解，相对而言，计算量大、比较繁琐，显得有些“大材小用”了，且定积分求解面积是一种模式化“公式性”的方法，不能很好地体现数学的思维性与灵活性. 但值得注意的是，所给的三种方法都考虑到了图形的对称性.

很多时候，高等方法并无优越性，反而是初等方法能以其简单清晰的思路、巧妙的过程给人以深刻.