四色猜想证明

【摘要】四色猜想诞生的100多年来，困惑了许多想解开此疑题的人们.本文以明确四色猜想的数理涵义和数理概念为切入点，明确出100多年来没有谁明确出的四色猜想的数理涵义和数理概念，从而准确地找到了论证四色猜想的论题、论点、论据，开拓了论证此论题的捷径.从而轻而易举地用平面几何原理求证出四色猜想的初级定理，并创新性地确立了化不规则N边形为变形三角形――即不规则三边形的变形几何原理，使之与四色猜想的初级定理相结合，导引出广义四色定理（又称四色定理），使四色定理能够直接应用于描绘复杂的地图.使论题成立.

【关键词】四色猜想；变形三角形；变形几何；四色定理

1.四色猜想产生的历史背景

1852年，毕业于伦敦大学的格斯里（FrancisGuthrie）来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现每幅地图都可以只用四种颜色着色.这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和他正在读大学的弟弟决心试一试，但是稿纸已经堆了一大叠，研究工作却是没有任何进展.1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德・摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密顿爵士请教，但直到1865年哈密顿逝世为止，问题也没有能够解决.1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题，世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战.

1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普（Alfred Kempe）和泰勒（Peter Guthrie Tait）两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理.大家都认为四色猜想从此也就解决了，但其实肯普并没有证明四色问题.11年后，即1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞.他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具有五个邻国的理由有破绽.不久泰勒的证明也被人们否定了.人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题――五色定理.就是说对地图着色，用五种颜色就够了.希伍德没有彻底否定肯普论文的价值，运用肯普发明的方法，证明了较弱的五色定理.下图为错误的四色地图，图中有黄、蓝、红、绿、白五种颜色：

2.四色猜想的通俗表述

四色问题又称四色猜想、四色定理，是世界三大数学猜想之一.通俗的说法是：每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同.1976年借助电子计算机证明了四色问题，问题也终于成为定理，这是第一个借助计算机证明的定理.――以上这段文字是通过百度搜索找到的四色猜想与四色定理的通俗表述.

所谓“通俗表述”即缺失明确的数理概念和定义.数理概念的缺失，直接导致论题关联的论点、论据、目标、方向不明确，难以想象100多年来竞相角逐此论题的数学家们，如何理解四色猜想的论点、论据、目标和方向？而在缺失明确的论点、论据、目标和方向的前提下论证此题，就像偏离目标的车辆，车速越快离目标方向越远.因而，求证四色猜想首先必须明确四色猜想的数理涵义，才能找准论题的论点、目标、论据，实施有效的求证.以下即根据四色猜想的通俗表述，明确四色猜想的数理概念和数理涵义.

3.四色猜想的数理涵义与概念

根据四色猜想的通俗表述，可明确出四色猜想的数理涵义为：

（1）因为通常使用的地图均为有限平面，因而四色猜想通俗表述的“每个平面地图”，即指有限平面.但如果局限于有限平面求证四色猜想，则此论题不具广义性、规律性的数理价值.因而，论证四色猜想必须把有限的地图平面扩展为无限平面――即扩展为任一无限平面.

（2）如果四种不同颜色在同一平面上，均只表示为颜色不同的线段，彼此相互衔接时即重叠为一条直线，只能把一个无限平面分割成2个平面.因而，要使四色猜想成立，4种颜色不能只表示为直线，必须表示为界限清晰的界限性平面.

（3）四色猜想通俗表述的“区域”即平面――指用四种颜色在同一无限平面上涂染而成的边界清晰的界限性平面.根据几何原理3点成面，最少边线的界限平面即为三角形平面.因而，4种颜色在P平面上涂染成的界限平面的最少边数为3，但任一种颜色涂染成的界限平面均没有边数限制，可迎合论题需要涂染为任意边数、（面积）任意大小的N边形.

（4）四色猜想通俗表述的“使没有两个邻接的区域颜色相同”的含义为：1.用四种颜色涂抹成的界限平面可以为无限多个； 2.无限多个界限平面无间隙地相互衔接、却互不相交；3.两个邻接的界限平面不能出现颜色重复；4.四种颜色涂染成的无限多个界限平面与同一无限平面的交角均为0――均重叠于无限平面上，构成无限平面的一部分，即以4种颜色不同的界限平面，无穷分割同一无限平面.

综合以上分析出的四色猜想的数理涵义，即可明确四色猜想的数理目标与论题的数理概念：

数理目标：四色猜想为平面几何题，目标指向平面分割；

四色猜想论题的数理概念为：求证用4种颜色构成界限平面（无形状、大小限制，可为≥3的N边形），分割任一无限平面，使衔接相连的界限平面颜色均不相同.

4.四色猜想证明

4.1.论题：求证用4种颜色构成界限平面（无形状、大小限制，可为≥3的N边形），分割任一无限平面，使衔接相连的界限平面颜色均不相同.

4.2.证明：

4.2.1.设P为任一无色的无限平面，4种颜色为黄、蓝、红、绿4色.

4.2.2.用黄、蓝、红、绿4色中的任一种颜色，在P平面上涂染，均可形成规则或不规则的3、4、5……N边形、圆形等任意形状和任意大小的色块平面，而当色块平面

4.2.3.用A表示黄色在P平面上涂染的界限平面集合，A包括A1，A2，A3……An；用B表示蓝色在P平面上涂染的界限平面集合，B包括B1，B2，B2……Bn；用C表示红色在P平面上涂染的界限平面集合，C包括C1，C2，C3……Cn，用D表示绿色在P平面上涂染的界限平面集合，D包括D1，D2，D3……Dn.